Calcule a integral
em uma curva fechada
qualquer que dê uma única volta em torno do ponto
. Determine para que valores de
o resultado é nulo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é uma curva fechada qualquer que dá uma única volta em torno do ponto
. As perguntas são:
- Calcular o valor dessa integral em termos de
. - Determinar para quais valores de
o resultado é nulo.
Informações relevantes dadas:
- A função no numerador é
(seno complexo), que é inteira (analítica em todo ). - O denominador tem um fator
, então há uma singularidade isolada em . - A curva
dá exatamente uma volta em torno de (ou seja, índice de enrolamento/ winding number igual a ). Não foi explicitado, mas adotamos a orientação padrão (positiva, anti-horária) — se a orientação for negativa, o sinal do resultado muda.
Passo 2
Ideia básica (intuição que vamos usar): como
é analítica em todo lugar, podemos expandi-la em série de potências (série de Taylor) ao redor do ponto
. Essa expansão permite separar os termos que, ao dividir por
e integrar ao longo de
, dão contribuição não nula apenas quando aparece um termo proporcional a
. Vou mostrar isso passo a passo.
Lembrete rápido sobre série de Taylor: se
é analítica num ponto
, então
onde
é a
-ésima derivada de
em
.
Passo 3
Escrevendo a série de Taylor de
centrada em
:
Observe que usei que
, etc.
Agora dividimos termo a termo por
:
Passo 4
Agora integramos termo a termo ao longo de
. Precisamos lembrar destas propriedades de integrais de funções do tipo
em volta de
:
- Se
é inteiro e , então . (Porque a primitiva existe e é analítica no interior, então a integral sobre circuito fechado é zero.) - Se
, então vezes o índice de enrolamento da curva em torno de . Como a curva dá uma única volta positiva, o índice vale , logo o valor é .
Aplicando isso à expansão:
- O termo
tem potência e sua integral é . - O termo
tem potência e sua integral é . - Todos os termos restantes são de potências
(ou seja, analíticos) e têm integral sobre .
Portanto, a única contribuição não nula vem do termo com
.
Passo 5
Concluímos então que
Esse resultado também pode ser obtido mais rapidamente usando a fórmula integral de Cauchy para derivadas: se
é analítica no interior de
,
Aqui tomamos
e
, então
confirmando o mesmo resultado.
Passo 6
Agora respondendo à segunda parte: queremos saber para quais
a integral é nula. Da expressão obtida, a integral é nula exatamente quando
.
As soluções de
(no plano complexo, e em particular no real) são
Portanto, para esses valores de
a integral vale zero.
Passo 7
Pequena verificação intuitiva para te deixar mais confiante:
- Se
, então e a integral vale . - Se
, então e a integral vale .
Lembre-se: se a curva
desse uma volta no sentido negativo (horário), o resultado teria sinal trocado, porque o índice de enrolamento seria
.