Calcule a integral
\int_{C} \frac{\operatorname{sen}(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{2}} d z
em uma curva fechada C qualquer que dê uma única volta em torno do ponto \quad z_{0}. Determine para que valores de \quad z_{0} \quad o resultado é nulo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{C} \frac{\operatorname{sen}(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\,dz
onde C é uma curva fechada qualquer que dá uma única volta em torno do ponto z_{0}. As perguntas são:
  1. Calcular o valor dessa integral em termos de z_{0}.
  2. Determinar para quais valores de z_{0} o resultado é nulo.
Informações relevantes dadas:
  • A função no numerador é \operatorname{sen}(z) (seno complexo), que é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).
  • O denominador tem um fator (z-z_{0})^{2}, então há uma singularidade isolada em z=z_{0}.
  • A curva C dá exatamente uma volta em torno de z_{0} (ou seja, índice de enrolamento/ winding number igual a 1). Não foi explicitado, mas adotamos a orientação padrão (positiva, anti-horária) — se a orientação for negativa, o sinal do resultado muda.

Passo 2

Ideia básica (intuição que vamos usar): como \operatorname{sen}(z) é analítica em todo lugar, podemos expandi-la em série de potências (série de Taylor) ao redor do ponto z_{0}. Essa expansão permite separar os termos que, ao dividir por (z-z_{0})^{2} e integrar ao longo de C, dão contribuição não nula apenas quando aparece um termo proporcional a \frac{1}{z-z_{0}}. Vou mostrar isso passo a passo.
Lembrete rápido sobre série de Taylor: se f é analítica num ponto z_{0}, então
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n},
onde f^{(n)}(z_{0}) é a n-ésima derivada de f em z_{0}.

Passo 3

Escrevendo a série de Taylor de \operatorname{sen}(z) centrada em z_{0}:
\operatorname{sen}(z)=\operatorname{sen}(z_{0})+\operatorname{cos}(z_{0})(z-z_{0})-\frac{\operatorname{sen}(z_{0})}{2!}(z-z_{0})^{2}+\cdots
Observe que usei que \frac{d}{dz}\operatorname{sen}(z)=\operatorname{cos}(z), etc.
Agora dividimos termo a termo por (z-z_{0})^{2}:
\frac{\operatorname{sen}(z)}{(z-z_{0})^{2}}=\frac{\operatorname{sen}(z_{0})}{(z-z_{0})^{2}}+\frac{\operatorname{cos}(z_{0})}{(z-z_{0})}-\frac{\operatorname{sen}(z_{0})}{2!}+\cdots

Passo 4

Agora integramos termo a termo ao longo de C. Precisamos lembrar destas propriedades de integrais de funções do tipo (z-z_{0})^{m} em volta de z_{0}:
  • Se m é inteiro e m\neq -1, então \displaystyle \int_{C} (z-z_{0})^{m}\,dz = 0. (Porque a primitiva (z-z_0)^{m+1}/(m+1) existe e é analítica no interior, então a integral sobre circuito fechado é zero.)
  • Se m=-1, então \displaystyle \int_{C} \frac{1}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i vezes o índice de enrolamento da curva em torno de z_{0}. Como a curva dá uma única volta positiva, o índice vale 1, logo o valor é 2\pi i.
Aplicando isso à expansão:
  • O termo \frac{\operatorname{sen}(z_{0})}{(z-z_{0})^{2}} tem potência m=-2 e sua integral é 0.
  • O termo \frac{\operatorname{cos}(z_{0})}{(z-z_{0})} tem potência m=-1 e sua integral é \operatorname{cos}(z_{0})\cdot 2\pi i.
  • Todos os termos restantes são de potências \ge 0 (ou seja, analíticos) e têm integral 0 sobre C.
Portanto, a única contribuição não nula vem do termo com \frac{1}{z-z_{0}}.

Passo 5

Concluímos então que
\int_{C} \frac{\operatorname{sen}(z)}{(z-z_{0})^{2}}\,dz = 2\pi i\,\operatorname{cos}(z_{0}).
Esse resultado também pode ser obtido mais rapidamente usando a fórmula integral de Cauchy para derivadas: se f é analítica no interior de C,
\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz.
Aqui tomamos f(z)=\operatorname{sen}(z) e n=1, então
\int_{C}\frac{\operatorname{sen}(z)}{(z-z_{0})^{2}}\,dz = 2\pi i\,\operatorname{sen}'(z_{0}) = 2\pi i\,\operatorname{cos}(z_{0}),
confirmando o mesmo resultado.

Passo 6

Agora respondendo à segunda parte: queremos saber para quais z_{0} a integral é nula. Da expressão obtida, a integral é nula exatamente quando \operatorname{cos}(z_{0})=0.
As soluções de \operatorname{cos}(z_{0})=0 (no plano complexo, e em particular no real) são
z_{0}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, para esses valores de z_{0} a integral vale zero.

Passo 7

Pequena verificação intuitiva para te deixar mais confiante:
  • Se z_{0}=0, então \operatorname{cos}(0)=1 e a integral vale 2\pi i.
  • Se z_{0}=\frac{\pi}{2}, então \operatorname{cos}(\pi/2)=0 e a integral vale 0.
Lembre-se: se a curva C desse uma volta no sentido negativo (horário), o resultado teria sinal trocado, porque o índice de enrolamento seria -1.

Resposta

\displaystyle \int_{C} \frac{\operatorname{sen}(z)}{(z-z_{0})^{2}}\,dz = 2\pi i\,\operatorname{cos}(z_{0})
\displaystyle \text{A integral é nula para } z_{0}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.é

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