Considere a curva gamma(t) = (cos(t), t, sen(t)) com t in [0, pi].
a) Se gamma representa um arame com densidade linear de massa f(x, y, z) = y * z + x^2, determine a massa desse arame.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a massa de um arame representado pela curva no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de densidade linear de massa, que aqui é dado pela função . Precisamos integrar essa função ao longo da curva para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Isso significa que as coordenadas x, y e z são funções de t:
Para calcular a massa, precisamos encontrar a derivada da curva e o seu módulo, que representa o elemento de comprimento .
\

Passo 3

Calculando a derivada de gamma(t) em relação a t:
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada:
Sabemos que , então:
\

Passo 4

Agora, substituímos os valores de x(t), y(t) e z(t) na função de densidade f(x, y, z):
\

Passo 5

A massa M do arame é dada pela integral da densidade ao longo da curva:
Podemos fatorar raiz(2) fora da integral:
\

Passo 6

Vamos resolver a integral separadamente:
Para a primeira integral, usamos integração por partes:
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica :
\

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a pi:
\

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
Multiplicando pelo raiz(2) que havíamos fatorado:

Resposta

A massa do arame é unidades de massa.

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