integral(11+t^2 i+t e^2^2 j+raizt k) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a integral de uma função vetorial em relação a . Isso significa que precisamos integrar cada componente dessa função separadamente. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e operações com vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
11+t^2 i + t e^4 j + raizt k
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada componente individualmente em relação a integral 11+t^2 , dt .

Componente arctan(t) + C1 :

integral t e^4 , dt
Essa integral é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente:
e^4 integral t , dt = e^4 ( t^22 ) + C2 = e^4 t^22 + C2

Componente integral raizt , dt :

integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C3
Aqui, é uma constante, então podemos fatorá-la para facilitar a integração:

Componente :

Sabemos que . Integrando:

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as componentes integradas em uma única expressão vetorial:
arctan(t) i + e^4 t^22 j + 2 t^3/23 k + C
Aqui, representa o vetor constante de integração, que pode ser escrito como .

Resposta

integral(11+t^2 i + t e^4 j + raizt k) dt = arctan(t) i + e^4 t^22 j + 2 t^3/23 k + C

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