1- Considere uma curva r(t)=(a \cos (t), a sen (t), f(t)). Determine f(t) para que:
a) os vetores normais de r sejam ortogonais ao eixo Oz
b) r seja uma curva plana

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=\big(a\cos t,\;a\sin t,\;f(t)\big)
onde a é uma constante e f é uma função de t que devemos determinar. As perguntas são:
a) Determinar f(t) tal que os vetores normais da curva r sejam ortogonais ao eixo Oz.
b) Determinar f(t) tal que r seja uma curva plana.
Informações relevantes dadas: a componente x=a\cos t e y=a\sin t descrevem um movimento circular de raio a no plano xy; a componente z é f(t), função a determinar. A resolução começa a partir das derivadas de r, que serão usadas para construir tangente, normal, torsão etc.

Passo 2

Vou calcular as derivadas suces­sivas de r(t). Denotando f'(t)=\dfrac{df}{dt}, f''(t)=\dfrac{d^2f}{dt^2}, f'''(t)=\dfrac{d^3f}{dt^3}, temos:
r'(t)=\big(-a\sin t,\;a\cos t,\;f'(t)\big),
r''(t)=\big(-a\cos t,\;-a\sin t,\;f''(t)\big),
r'''(t)=\big(a\sin t,\;-a\cos t,\;f'''(t)\big).
Essas derivadas vão aparecer nas fórmulas do vetor tangente unitário, da normal principal e na condição de planaridade (torsão). Antes de aplicar, explico os conceitos que vamos usar.
Explicação rápida (didática):
  • O vetor tangente unitário é T=\dfrac{r'}{\|r'\|}. A normal principal N tem direção paralela a T' (ou seja, N é a direção do vetor derivada de T).
  • Pedir que N seja ortogonal ao eixo Oz significa que a componente na direção k=(0,0,1) de N é zero. Como N é paralelo a T', basta exigir que a componente z de T' seja zero.
  • Uma curva é plana se ela está contida em algum plano fixo. Uma condição prática: a torsão \tau da curva é zero para toda t. Uma forma equivalente de testar \tau=0 é exigir que o produto misto (r'\times r'')\cdot r''' seja zero para todo t. Vou usar essa última forma porque dá uma equação simples para f.

Passo 3

Queremos N ortogonal ao eixo Oz. Como expliquei, isso é equivalente a pedir que a componente z de T'=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{r'}{\|r'\|}\right) seja zero, isto é:
\frac{d}{dt}\Big(\text{componente }z\text{ de }T\Big)=0.
A componente z de T é
T_z=\frac{f'(t)}{\|r'(t)\|}.
Aqui \|r'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+(f')^2}=\sqrt{a^2+(f')^2}. Então
T_z(t)=\frac{f'(t)}{\sqrt{a^2+(f'(t))^2}}.
Exigimos T'_z(t)=0 para todo t. Isso significa que T_z(t) é constante; chame essa constante de c:
\frac{f'(t)}{\sqrt{a^2+(f'(t))^2}}=c,\qquad c\in\mathbb{R}.
Agora resolvemos essa equação para f'(t). Isolando e elevando ao quadrado:
(f')^2 = c^2\big(a^2+(f')^2\big).
Passe os termos:
(1-c^2)(f')^2 = c^2 a^2.
Se c^2\neq 1, obtemos que (f')^2 é uma constante; logo f'(t) é uma constante (pode ser positiva ou negativa constante). Se c^2=1 então da equação anterior ficaríamos com 0 = a^2, o que forçaria a=0 (caso degenerado que não nos interessa, pois o círculo no plano xy tem raio a). Assim a conclusão é que f'(t) é constante. Ou seja, existe b\in\mathbb{R} tal que
f'(t)=b.
Integrando:
f(t)=bt+c,\qquad b,c\in\mathbb{R}.
Comentário interpretativo: geometricamente, isso significa que a componente z cresce linearmente com t, ou seja a curva é uma hélice (quando b\neq0) ou o círculo no plano xy (quando b=0). Nessas hélices o plano normal principal é sempre paralelo ao plano xy, portanto seus normais não têm componente z.

Passo 4

Queremos que a curva seja plana. Como dito, uma condição prática é
(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)=0\quad\text{para todo }t.
Vou calcular primeiro r'(t)\times r''(t). Usando as componentes anteriores (com p=f' e q=f'' para compactar a escrita) obtemos
r'(t)\times r''(t)=\big(a(cq+sp),\;a(sq-cp),\;a^2\big),
onde s=\sin t e c=\cos t, e escrevendo explicitamente p=f'(t), q=f''(t). (Fiz a multiplicação componente a componente — se quiser eu mostro cada multiplicação, mas já deixei o resultado reduzido.)
Agora o produto misto:
D(t):=(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t).
Substituindo r'''(t)=(a\sin t,\,-a\cos t,\;f'''(t)) e fazendo a multiplicação escalar obtemos, depois de simplificar termos trigonométricos, o resultado muito simples
D(t)=a^2\big(f'(t)+f'''(t)\big).
(Se quiser conferir: os termos com f'' se cancelam e sobra exatamente essa combinação.) Para que a curva seja plana precisamos de D(t)=0 para todo t. Como a^2 é constante não nulo (assumimos a\neq0), isso dá a equação diferencial
f'''(t)+f'(t)=0.
Agora resolvemos essa EDO linear com coeficientes constantes. A equação característica é
\lambda^3+\lambda=\lambda(\lambda^2+1)=0,
portanto as raízes são \lambda=0,\pm i. Isso implica que a solução geral para f'(t) é
f'(t)=C_0 + C_1\cos t + C_2\sin t,
com constantes C_0,C_1,C_2. Integrando f' obtemos a solução geral para f:
f(t)=C_0 t + C_1\sin t - C_2\cos t + C_3,
onde C_3 é constante de integração adicional. Podemos reorganizar os constantes escrevendo, de forma mais direta,
f(t)=b\,t + A\sin t + B\cos t + D,
com b,A,B,D\in\mathbb{R} arbitrários (a relação entre A,B e C_1,C_2 é apenas uma mudança de sinal em um deles). Essa é a família completa de funções f que tornam a curva plana.
Observação: a solução do item (a), f(t)=bt+c, é um caso particular desta família (tomando A=B=0), portanto todas as hélices lineares também são planas apenas se A=B=0 — note que uma hélice com b\neq0 e componentes periódicas não nulas em z normalmente é não plana; a condição acima garante planitude.

Resposta

a) f(t)=b\,t+c, com b,c\in\mathbb{R}.\n
b) f(t)=b\,t + A\sin t + B\cos t + D, com b,A,B,D\in\mathbb{R}.

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