1- Considere uma curva
, a sen
. Determine
para que:
a) os vetores normais de r sejam ortogonais ao eixo Oz
b) r seja uma curva plana
a) os vetores normais de r sejam ortogonais ao eixo Oz
b) r seja uma curva plana
Passo 1
O enunciado dá a curva
onde
é uma constante e
é uma função de
que devemos determinar. As perguntas são:
a) Determinar tal que os vetores normais da curva
sejam ortogonais ao eixo
.
b) Determinar tal que
seja uma curva plana.
a) Determinar
b) Determinar
Informações relevantes dadas: a componente
e
descrevem um movimento circular de raio
no plano
; a componente
é
, função a determinar. A resolução começa a partir das derivadas de
, que serão usadas para construir tangente, normal, torsão etc.
Passo 2
Vou calcular as derivadas sucessivas de
. Denotando
,
,
, temos:
Essas derivadas vão aparecer nas fórmulas do vetor tangente unitário, da normal principal e na condição de planaridade (torsão). Antes de aplicar, explico os conceitos que vamos usar.
Explicação rápida (didática):
- O vetor tangente unitário é
. A normal principal tem direção paralela a (ou seja, é a direção do vetor derivada de ). - Pedir que
seja ortogonal ao eixo significa que a componente na direção de é zero. Como é paralelo a , basta exigir que a componente de seja zero. - Uma curva é plana se ela está contida em algum plano fixo. Uma condição prática: a torsão
da curva é zero para toda . Uma forma equivalente de testar é exigir que o produto misto seja zero para todo . Vou usar essa última forma porque dá uma equação simples para .
Passo 3
Queremos
ortogonal ao eixo
. Como expliquei, isso é equivalente a pedir que a componente
de
seja zero, isto é:
A componente
de
é
Aqui
. Então
Exigimos
para todo
. Isso significa que
é constante; chame essa constante de
:
Agora resolvemos essa equação para
. Isolando e elevando ao quadrado:
Passe os termos:
Se
, obtemos que
é uma constante; logo
é uma constante (pode ser positiva ou negativa constante). Se
então da equação anterior ficaríamos com
, o que forçaria
(caso degenerado que não nos interessa, pois o círculo no plano
tem raio
). Assim a conclusão é que
é constante. Ou seja, existe
tal que
Integrando:
Comentário interpretativo: geometricamente, isso significa que a componente
cresce linearmente com
, ou seja a curva é uma hélice (quando
) ou o círculo no plano
(quando
). Nessas hélices o plano normal principal é sempre paralelo ao plano
, portanto seus normais não têm componente
.
Passo 4
Queremos que a curva seja plana. Como dito, uma condição prática é
Vou calcular primeiro
. Usando as componentes anteriores (com
e
para compactar a escrita) obtemos
onde
e
, e escrevendo explicitamente
,
. (Fiz a multiplicação componente a componente — se quiser eu mostro cada multiplicação, mas já deixei o resultado reduzido.)
Agora o produto misto:
Substituindo
e fazendo a multiplicação escalar obtemos, depois de simplificar termos trigonométricos, o resultado muito simples
(Se quiser conferir: os termos com
se cancelam e sobra exatamente essa combinação.) Para que a curva seja plana precisamos de
para todo
. Como
é constante não nulo (assumimos
), isso dá a equação diferencial
Agora resolvemos essa EDO linear com coeficientes constantes. A equação característica é
portanto as raízes são
. Isso implica que a solução geral para
é
com constantes
. Integrando
obtemos a solução geral para
:
onde
é constante de integração adicional. Podemos reorganizar os constantes escrevendo, de forma mais direta,
com
arbitrários (a relação entre
e
é apenas uma mudança de sinal em um deles). Essa é a família completa de funções
que tornam a curva plana.
Observação: a solução do item (a),
, é um caso particular desta família (tomando
), portanto todas as hélices lineares também são planas apenas se
— note que uma hélice com
e componentes periódicas não nulas em
normalmente é não plana; a condição acima garante planitude.
Resposta
a)
, com
.\n
b) , com
.
b)