a) Apresentar a equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas.
b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
c) Deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade.
d) Discutir a física do resultado, ressaltando a validade e limitações do modelo.
b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
c) Deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade.
d) Discutir a física do resultado, ressaltando a validade e limitações do modelo.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
- (a) Apresentar a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas.
- (b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (por exemplo: permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
- (c) Deduzir a equação diferencial final sob essas hipóteses e resolver para o perfil de velocidade.
- (d) Discutir a física do resultado, ressaltando validade e limitações do modelo.
Informações implícitas que vou usar (típicas desse tipo de problema e necessárias para chegar ao perfil de velocidade):
- Estamos tratando de um fluido newtoniano e incompressível com massa específica
e viscosidade dinâmica . - Usarei coordenadas cilíndricas
com velocidades . - A geometria implícita para obter um “perfil de velocidade” clássico é um conduto circular de raio
ao longo do eixo .
Nenhuma outra informação numérica foi dada; vou trabalhar de forma simbólica (pressionamento como função de, etc.).
Passo 2
Escrevendo as equações gerais (completa e sem simplificações) em coordenadas cilíndricas.
Primeiro a equação de continuidade para fluido incompressível (conservação de massa):
Explicação: cada termo representa a variação de fluxo em cada direção.
é a componente radial,
a tangencial e
a axial.
Agora as três componentes da equação de Navier–Stokes (conservação de momento) para um fluido newtoniano incompressível (forças de volume
incluídas como
).
Componente radial (
):
onde a laplaciana aparece como
Componente tangencial (
):
Componente axial (
):
Explicação didática rápida dos termos:
- O lado esquerdo contém termos de inércia:
é aceleração local e os termos com produtos são acelerações convectivas (mudanças devido ao transporte pelo campo de velocidade). -
é a força de pressão. -
é a força viscosa (força de atrito interno) para fluido newtoniano; é a viscosidade dinâmica. -
são forças de corpo (por ex. gravidade) — que posso manter ou desprezar dependendo do problema.
Passo 3
Explicando as hipóteses físicas que tornam o problema tratável e apropriadas para obter o perfil clássico (Hagen–Poiseuille). Vou enumerar cada hipótese e justificar brevemente por que podemos adotá‑la neste contexto.
-
Permanência (estado estacionário):
. - Significa que o escoamento não muda no tempo; útil para escoamentos estabelecidos (condições constantes no longo prazo).
-
Escoamento unidimensional axial e ausência de componentes radial/tangencial:
. - Isso significa que o fluido só se move ao longo de
, e a velocidade axial depende apenas da coordenada radial . Adequado para escoamento plenamente desenvolvido em um tubo reto.
- Isso significa que o fluido só se move ao longo de
-
Simetria axial (axisimetria):
. - Não há variação com o ângulo
— o problema é circularmente simétrico.
- Não há variação com o ângulo
-
Escoamento plenamente desenvolvido axialmente:
(mas a pressão pode variar: , tipicamente constante). - Velocidade não muda ao longo do eixo; a única variação espacial de velocidade é radial.
-
Fluido incompressível e newtoniano com viscosidade
constante e densidade constante. - Torna
a forma correta do termo viscoso e simplifica massa específica.
- Torna
-
Condições de contorno clássicas:
- Condição de regularidade no centro:
finita em . - Condição de não deslizamento na parede:
(parede fixa).
- Condição de regularidade no centro:
Observação: Se houver presença importante de gravidade na direção axial, ela entra como
no termo axial. Na derivação usual de Poiseuille, despreza‑se
ou incorpora‑se facilmente na gradiente de pressão efetivo; vou assumir aqui
desprezível ou incluí‑lo na definição de
.
Passo 4
Aplicando as hipóteses às equações: redução das equações completas para o caso considerado.
Continuidadede incompressível com
e
para
dá
ou seja, a continuidade fica satisfeita trivialmente (0 = 0). Explicação: como não há fluxo radial e a velocidade axial não varia com
, não há acumulação de massa local.
Agora a componente axial do Navier–Stokes. A forma geral (ver Passo 2) reduz drasticamente porque muitos termos são zero:
-
(estado estacionário). - Os termos convectivos
, , são todos zero porque e .
Logo o lado esquerdo (inércia) é nulo:.
Do lado direito, o termo de pressão axial permanece
. O termo viscoso para a componente axial com axisimetria e sem variação axial é
pois
e
e
.
Portanto a equação axial reduz-se a (colocando
):
Explicação:
é a força de pressão que impulsiona o escoamento;
é a resistência viscosa distribuída. A igualdade 0 do lado esquerdo significa que o escoamento é estacionário e totalmente equilibrado localmente entre pressão e viscosidade.
Passo 5
Reescrever a equação diferencial para ficar explícita e simples de integrar.
A equação do passo anterior é
Observação importante:
depende apenas de
por hipótese de axisimetria e fully-developed; como no lado esquerdo só aparece
, isso só é consistente se
for independente de
(ou seja, uma constante ao longo do tubo, possivelmente função de
mas na prática tomamos gradiente constante). Para escoamento uniforme em tubo reto, assume‑se
. Denotemos
(taxa de queda de pressão positiva quando
diminui ao longo de
); assim
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Integração da equação ordinária — primeira integração.
Integrando em
:
onde
é constante de integração. Dividindo por
(para
):
Agora uma observação física-matemática crucial sobre
: a solução deve ser regular no centro do tubo
(não pode divergir). O termo
diverge quando
a menos que
. Portanto, pela condição de regularidade em
temos:
Isso é um passo importante: usamos a exigência física de que a velocidade seja finita e o seu gradiente também não singular no eixo.
Assim obtemos
Passo 7
Segunda integração para obter
.
Integrando novamente em
:
onde
é outra constante de integração. Agora aplicamos a condição de contorno na parede (não deslizamento):
Logo
Substituindo de volta:
Reescrevendo de forma usual usando
(assim
quando a pressão decresce no sentido positivo de
):
Explicação: esta é a famosa distribuição parabólica (perfil parabólico) de velocidades do escoamento laminar plenamente desenvolvido num tubo circular — também chamada de perfil de Hagen–Poiseuille.
Passo 8
Quantidades úteis derivadas do perfil (ajuda a entender física e escala):
- Velocidade máxima (no centro,
):
- Vazão volumétrica
:
Usando
e para queda de pressão
, obtemos a relação clássica de Poiseuille:
Ou rearranjando,
- Velocidade média (média superficial)
:
Assim a velocidade média é metade da velocidade no centro.
- Tensão de cisalhamento radial-axial
:
Em particular, a tensão na parede (
) é
Passo 9
Discussão física do resultado — validade, interpretações e limitações (com tom encorajador e didático).
O que significa fisicamente o perfil
?
- É um perfil parabólico: o fluido mais rápido fica no centro e a velocidade decresce até zero na parede por efeito da viscosidade e da condição de não-deslizamento.
- A distribuição de velocidade é resultado do balanço local entre a força de pressão que empurra o fluido e o atrito viscoso que o retarda.
Validade do modelo / hipóteses onde essa solução é correta:
- Fluido newtoniano e incompressível com viscosidade constante
. - Escoamento laminar, estacionário e plenamente desenvolvido (isto é, não existir variação de perfil ao longo de
): tipicamente válido para número de Reynolds (valor aproximado; transição depende de perturbações e comprimento do tubo). - Tubo reto, circular e com parede fixa (não deslizamento).
- Gradiente de pressão constante ao longo da seção considerada ou, no mínimo, independente de
(o que usamos quando escrevemos apenas).
Limitações e quando a solução NÃO vale:
- Para escoamentos turbulentos (
grande), o perfil não é parabólico; é mais “achatado” no núcleo e precisa de modelos turbulenceicos (ex.: perfil logarítmico). - Na região de entrada (entrance length) o perfil ainda se ajusta desde o escoamento uniforme na entrada até o perfil plenamente desenvolvido; nossa solução não descreve essa região. A extensão de entrada típica é
(ordem de grandeza). - Fluidos não-newtonianos (viscosidade depende de taxa de deformação) dão perfis diferentes.
- Efeitos de compressibilidade (fluidos gasosos com variações de densidade fortes) invalidam a hipótese de incompressibilidade.
- Parede rugosa, deslizamento na parede (microfluxos) ou força de corpo axial significativa (gravidade) podem exigir modificações.
- Curvatura do tubo, acelerações longitudinais, ou variação significativa de
com também podem invalidar a forma simples.
Interpretação prática e relações úteis:
- A equação de Poiseuille
mostra que a vazão é extremamente sensível ao raio ( ). Pequenas variações de raio mudam muito o fluxo. - A parede suporta tensão
: um modo útil de relacionar perda de carga e tensão de cisalhamento. - Em problemas experimentais, comparar o perfil medido com o parabólico é um diagnóstico rápido de regime (laminar vs turbulento) e de comportamento newtoniano.
Passo 10
Resumo rápido do método (pra te ajudar na hora da prova):
- Escreve NS em coordenadas adaptadas (cilíndricas).
- Liste e aplique hipóteses (steady, axisimétrico, v_r=0, v_θ=0, fully developed).
- Reduza a componente axial e obtenha ODE radial:
. - Integre duas vezes, imponha regularidade em
e não-deslizamento em . Resultado: com .
Se decorar esse “caminho” você resolve esse tipo de questão rapidinho na prova — e sem dramatizar. Vai dar certo!
Resposta
(a) Equações de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas (componentes para fluido newtoniano incompressível):
com
.
(b) Hipóteses adotadas:
- Estado estacionário:
. - Incompressibilidade e fluido newtoniano com
e constantes. - Escoamento unidimensional axial:
. - Axisimetria:
. - Plenamente desenvolvido:
, com independente de (tipicamente constante). - Condições de contorno: regularidade em
e não-deslizamento .
(c) Equação diferencial final e solução para o perfil:
Equação ODE radial:
Equação ODE radial:
Solução (com
):
com
, vazão
e média
. Tensão de cisalhamento
,
.
(d) Discussão física, validade e limitações:
- Interpretação: perfil parabólico resultado do balanço entre pressão (impulsionadora) e viscosidade (resistência). Centro mais rápido, parede com velocidade zero (não‑deslizamento).
- Validade: aplica‑se para fluido newtoniano, incompressível, escoamento laminar e plenamente desenvolvido em tubo circular reto; geralmente para
. - Limitações: não vale para escoamento turbulento (perfil diferente), região de entrada (perfil não desenvolvido), fluidos não‑newtonianos, efeitos de compressibilidade, parede rugosa/deslizante, curvaturas fortes, ou quando
não for independente de .