a) Apresentar a equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas.
b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
c) Deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade.
d) Discutir a física do resultado, ressaltando a validade e limitações do modelo.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  1. (a) Apresentar a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas.
  2. (b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (por exemplo: permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
  3. (c) Deduzir a equação diferencial final sob essas hipóteses e resolver para o perfil de velocidade.
  4. (d) Discutir a física do resultado, ressaltando validade e limitações do modelo.
Informações implícitas que vou usar (típicas desse tipo de problema e necessárias para chegar ao perfil de velocidade):
  • Estamos tratando de um fluido newtoniano e incompressível com massa específica \rho e viscosidade dinâmica \mu.
  • Usarei coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com velocidades (v_r,v_\theta,v_z).
  • A geometria implícita para obter um “perfil de velocidade” clássico é um conduto circular de raio R ao longo do eixo z.
    Nenhuma outra informação numérica foi dada; vou trabalhar de forma simbólica (pressionamento como função de z, etc.).

Passo 2

Escrevendo as equações gerais (completa e sem simplificações) em coordenadas cilíndricas.
Primeiro a equação de continuidade para fluido incompressível (conservação de massa):
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r v_r\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0.
Explicação: cada termo representa a variação de fluxo em cada direção. v_r é a componente radial, v_\theta a tangencial e v_z a axial.
Agora as três componentes da equação de Navier–Stokes (conservação de momento) para um fluido newtoniano incompressível (forças de volume \rho \mathbf{g} incluídas como \rho g_r,\rho g_\theta,\rho g_z).
Componente radial ( r):
\begin{aligned} \rho\Bigg(&\frac{\partial v_r}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta} - \frac{v_\theta^2}{r} + v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}\Bigg) = -\frac{\partial p}{\partial r} \\\ &\quad + \mu\Bigg[\nabla^2 v_r - \frac{v_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}\Bigg] + \rho g_r, \end{aligned}
onde a laplaciana aparece como
\nabla^2(\cdot)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial (\cdot)}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 (\cdot)}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2(\cdot)}{\partial z^2}.
Componente tangencial ( \theta):
\begin{aligned} \rho\Bigg(&\frac{\partial v_\theta}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{v_r v_\theta}{r} + v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z}\Bigg) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} \\\ &\quad + \mu\Bigg[\nabla^2 v_\theta - \frac{v_\theta}{r^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}\Bigg] + \rho g_\theta. \end{aligned}
Componente axial ( z):
\rho\Bigg(\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} + v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\Bigg) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \nabla^2 v_z + \rho g_z.
Explicação didática rápida dos termos:
  • O lado esquerdo contém termos de inércia: \rho(\partial/\partial t) é aceleração local e os termos com produtos v_i \partial_j v_k são acelerações convectivas (mudanças devido ao transporte pelo campo de velocidade).
  • -\nabla p é a força de pressão.
  • \mu \nabla^2 v é a força viscosa (força de atrito interno) para fluido newtoniano; \mu é a viscosidade dinâmica.
  • \rho \mathbf{g} são forças de corpo (por ex. gravidade) — que posso manter ou desprezar dependendo do problema.

Passo 3

Explicando as hipóteses físicas que tornam o problema tratável e apropriadas para obter o perfil clássico (Hagen–Poiseuille). Vou enumerar cada hipótese e justificar brevemente por que podemos adotá‑la neste contexto.
  1. Permanência (estado estacionário): \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}=0.
    • Significa que o escoamento não muda no tempo; útil para escoamentos estabelecidos (condições constantes no longo prazo).
  2. Escoamento unidimensional axial e ausência de componentes radial/tangencial:
    \displaystyle v_r = 0,\quad v_\theta = 0,\quad v_z = u(r).
    • Isso significa que o fluido só se move ao longo de z, e a velocidade axial depende apenas da coordenada radial r. Adequado para escoamento plenamente desenvolvido em um tubo reto.
  3. Simetria axial (axisimetria): \displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta}=0.
    • Não há variação com o ângulo \theta — o problema é circularmente simétrico.
  4. Escoamento plenamente desenvolvido axialmente: \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}=0 (mas a pressão pode variar: p=p(z), tipicamente \frac{dp}{dz}= constante).
    • Velocidade não muda ao longo do eixo; a única variação espacial de velocidade é radial.
  5. Fluido incompressível e newtoniano com viscosidade \mu constante e densidade \rho constante.
    • Torna \mu\nabla^2 v a forma correta do termo viscoso e simplifica massa específica.
  6. Condições de contorno clássicas:
    • Condição de regularidade no centro: u finita em r=0.
    • Condição de não deslizamento na parede: u(R)=0 (parede fixa).
Observação: Se houver presença importante de gravidade na direção axial, ela entra como \rho g_z no termo axial. Na derivação usual de Poiseuille, despreza‑se g_z ou incorpora‑se facilmente na gradiente de pressão efetivo; vou assumir aqui g_z desprezível ou incluí‑lo na definição de \partial p/\partial z.

Passo 4

Aplicando as hipóteses às equações: redução das equações completas para o caso considerado.
Continuidadede incompressível com v_r=0,\\ v_\theta=0 e \partial/\partial \theta=0,\\ \partial/\partial z=0 para u
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\cdot 0\right) + 0 + 0 = 0,
ou seja, a continuidade fica satisfeita trivialmente (0 = 0). Explicação: como não há fluxo radial e a velocidade axial não varia com z, não há acumulação de massa local.
Agora a componente axial do Navier–Stokes. A forma geral (ver Passo 2) reduz drasticamente porque muitos termos são zero:
  • \partial v_z/\partial t = 0 (estado estacionário).
  • Os termos convectivos \,v_r\partial_r v_z, (v_\theta/r)\partial_\theta v_z, v_z\partial_z v_z são todos zero porque v_r=0,\\ v_\theta=0 e \partial v_z/\partial z=0.
    Logo o lado esquerdo (inércia) é nulo: 0.
Do lado direito, o termo de pressão axial permanece -\partial p/\partial z. O termo viscoso para a componente axial com axisimetria e sem variação axial é
\mu \nabla^2 v_z = \mu\left[\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)\right],
pois \partial^2/\partial \theta^2=0 e \partial^2/\partial z^2=0 e v_z=u(r).
Portanto a equação axial reduz-se a (colocando u(r)=v_z):
0 = -\frac{dp}{dz} + \mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right).
Explicação: -dp/dz é a força de pressão que impulsiona o escoamento; \mu(1/r)d/dr(r du/dr) é a resistência viscosa distribuída. A igualdade 0 do lado esquerdo significa que o escoamento é estacionário e totalmente equilibrado localmente entre pressão e viscosidade.

Passo 5

Reescrever a equação diferencial para ficar explícita e simples de integrar.
A equação do passo anterior é
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{dp}{dz}.
Observação importante: \displaystyle \frac{dp}{dz} depende apenas de z por hipótese de axisimetria e fully-developed; como no lado esquerdo só aparece r, isso só é consistente se \frac{dp}{dz} for independente de r (ou seja, uma constante ao longo do tubo, possivelmente função de z mas na prática tomamos gradiente constante). Para escoamento uniforme em tubo reto, assume‑se \displaystyle \frac{dp}{dz} = \text{const}. Denotemos \displaystyle G \equiv -\frac{dp}{dz} (taxa de queda de pressão positiva quando p diminui ao longo de +z); assim \displaystyle \frac{dp}{dz} = -G.
Multiplicando ambos os lados por r:
\mu \frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = r\frac{dp}{dz}.

Passo 6

Integração da equação ordinária — primeira integração.
Integrando em r:
\mu \, r\frac{du}{dr} = \frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{2} + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r (para r>0):
\mu \frac{du}{dr} = \frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2} + \frac{C_1}{r}.
Agora uma observação física-matemática crucial sobre C_1: a solução deve ser regular no centro do tubo r=0 (não pode divergir). O termo C_1/r diverge quando r\to 0 a menos que C_1=0. Portanto, pela condição de regularidade em r=0 temos:
C_1 = 0.
Isso é um passo importante: usamos a exigência física de que a velocidade seja finita e o seu gradiente também não singular no eixo.
Assim obtemos
\mu \frac{du}{dr} = \frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2}.

Passo 7

Segunda integração para obter u(r).
Integrando novamente em r:
u(r) = \frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{4\mu} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Agora aplicamos a condição de contorno na parede (não deslizamento):
u(R) = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 = \frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^2}{4\mu} + C_2.
Logo
C_2 = -\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^2}{4\mu}.
Substituindo de volta:
u(r) = \frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2 - R^2}{4\mu}.
Reescrevendo de forma usual usando G\equiv -dp/dz (assim G>0 quando a pressão decresce no sentido positivo de z):
u(r) = \frac{G}{4\mu}\left(R^2 - r^2\right).
Explicação: esta é a famosa distribuição parabólica (perfil parabólico) de velocidades do escoamento laminar plenamente desenvolvido num tubo circular — também chamada de perfil de Hagen–Poiseuille.

Passo 8

Quantidades úteis derivadas do perfil (ajuda a entender física e escala):
  1. Velocidade máxima (no centro, r=0):
u_{\max} = u(0) = \frac{G R^2}{4\mu}.
  1. Vazão volumétrica Q:
\begin{aligned} Q &= 2\pi\int_0^R u(r)\, r\, dr = 2\pi\int_0^R \frac{G}{4\mu}(R^2 - r^2)\, r\, dr \\\ &= \frac{\pi G}{2\mu}\int_0^R (R^2 r - r^3)\, dr = \frac{\pi G}{2\mu}\left[\frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4}\right] \\\ &= \frac{\pi G R^4}{8\mu}. \end{aligned}
Usando G=-dp/dz e para queda de pressão \Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}} = -\frac{dp}{dz}L = G L, obtemos a relação clássica de Poiseuille:
Q = \frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\Delta p}{L}.
Ou rearranjando,
\Delta p = \frac{8\mu L}{\pi R^4} \, Q.
  1. Velocidade média (média superficial) \bar{u}=Q/(\pi R^2):
\bar{u} = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{G R^2}{8\mu} = \frac{u_{\max}}{2}.
Assim a velocidade média é metade da velocidade no centro.
  1. Tensão de cisalhamento radial-axial \tau_{rz}:
\tau_{rz}(r) = \mu \frac{du}{dr} = -\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2} = \frac{G r}{2}.
Em particular, a tensão na parede ( r=R) é
\tau_w = \tau_{rz}(R) = \frac{G R}{2} = -\frac{R}{2}\frac{dp}{dz}.

Passo 9

Discussão física do resultado — validade, interpretações e limitações (com tom encorajador e didático).
O que significa fisicamente o perfil u(r)=\dfrac{G}{4\mu}(R^2-r^2)?
  • É um perfil parabólico: o fluido mais rápido fica no centro e a velocidade decresce até zero na parede por efeito da viscosidade e da condição de não-deslizamento.
  • A distribuição de velocidade é resultado do balanço local entre a força de pressão que empurra o fluido e o atrito viscoso que o retarda.
Validade do modelo / hipóteses onde essa solução é correta:
  • Fluido newtoniano e incompressível com viscosidade constante \mu.
  • Escoamento laminar, estacionário e plenamente desenvolvido (isto é, não existir variação de perfil ao longo de z): tipicamente válido para número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{\rho \bar{u} D}{\mu} \lesssim 2000 (valor aproximado; transição depende de perturbações e comprimento do tubo).
  • Tubo reto, circular e com parede fixa (não deslizamento).
  • Gradiente de pressão constante ao longo da seção considerada ou, no mínimo, independente de r,\theta (o que usamos quando escrevemos \partial p/\partial z apenas).
Limitações e quando a solução NÃO vale:
  • Para escoamentos turbulentos ( \mathrm{Re} grande), o perfil não é parabólico; é mais “achatado” no núcleo e precisa de modelos turbulenceicos (ex.: perfil logarítmico).
  • Na região de entrada (entrance length) o perfil ainda se ajusta desde o escoamento uniforme na entrada até o perfil plenamente desenvolvido; nossa solução não descreve essa região. A extensão de entrada típica é L_e\sim 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D (ordem de grandeza).
  • Fluidos não-newtonianos (viscosidade depende de taxa de deformação) dão perfis diferentes.
  • Efeitos de compressibilidade (fluidos gasosos com variações de densidade fortes) invalidam a hipótese de incompressibilidade.
  • Parede rugosa, deslizamento na parede (microfluxos) ou força de corpo axial significativa (gravidade) podem exigir modificações.
  • Curvatura do tubo, acelerações longitudinais, ou variação significativa de \partial p/\partial z com z também podem invalidar a forma simples.
Interpretação prática e relações úteis:
  • A equação de Poiseuille \displaystyle Q=\dfrac{\pi R^4}{8\mu}\dfrac{\Delta p}{L} mostra que a vazão é extremamente sensível ao raio ( R^4). Pequenas variações de raio mudam muito o fluxo.
  • A parede suporta tensão \tau_w = \dfrac{R}{2}(-dp/dz): um modo útil de relacionar perda de carga e tensão de cisalhamento.
  • Em problemas experimentais, comparar o perfil medido com o parabólico é um diagnóstico rápido de regime (laminar vs turbulento) e de comportamento newtoniano.

Passo 10

Resumo rápido do método (pra te ajudar na hora da prova):
  1. Escreve NS em coordenadas adaptadas (cilíndricas).
  2. Liste e aplique hipóteses (steady, axisimétrico, v_r=0, v_θ=0, fully developed).
  3. Reduza a componente axial e obtenha ODE radial: \mu(1/r)d/dr(r du/dr)=dp/dz.
  4. Integre duas vezes, imponha regularidade em r=0 e não-deslizamento em r=R. Resultado: u(r)=\dfrac{G}{4\mu}(R^2-r^2) com G=-dp/dz.
    Se decorar esse “caminho” você resolve esse tipo de questão rapidinho na prova — e sem dramatizar. Vai dar certo!

Resposta

(a) Equações de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas (componentes para fluido newtoniano incompressível):
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r v_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0,
\begin{aligned} \rho\Bigg(&\frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}-\frac{v_\theta^2}{r}+v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}\Bigg) = -\frac{\partial p}{\partial r} \\\ &\quad +\mu\Bigg[\nabla^2 v_r-\frac{v_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}\Bigg]+\rho g_r, \end{aligned}
\begin{aligned} \rho\Bigg(&\frac{\partial v_\theta}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}+\frac{v_r v_\theta}{r}+v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z}\Bigg) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} \\\ &\quad +\mu\Bigg[\nabla^2 v_\theta-\frac{v_\theta}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}\Bigg]+\rho g_\theta, \end{aligned}
\rho\Bigg(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\Bigg) = -\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\nabla^2 v_z+\rho g_z,
com \displaystyle \nabla^2=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
(b) Hipóteses adotadas:
  • Estado estacionário: \partial/\partial t=0.
  • Incompressibilidade e fluido newtoniano com \rho e \mu constantes.
  • Escoamento unidimensional axial: v_r=0,\;v_\theta=0,\;v_z=u(r).
  • Axisimetria: \partial/\partial\theta=0.
  • Plenamente desenvolvido: \partial u/\partial z=0, com \partial p/\partial z independente de r (tipicamente constante).
  • Condições de contorno: regularidade em r=0 e não-deslizamento u(R)=0.
(c) Equação diferencial final e solução para o perfil:
Equação ODE radial:
\mu\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dz}.
Solução (com G\equiv -\dfrac{dp}{dz}):
u(r)=\frac{G}{4\mu}\left(R^2-r^2\right),
com u_{\max}=u(0)=\dfrac{G R^2}{4\mu}, vazão
Q= \frac{\pi G R^4}{8\mu} = \frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\Delta p}{L},
e média \bar{u}=Q/(\pi R^2)=u_{\max}/2. Tensão de cisalhamento \tau_{rz}=\mu du/dr = \dfrac{G r}{2}, \tau_w=\dfrac{G R}{2}.
(d) Discussão física, validade e limitações:
  • Interpretação: perfil parabólico resultado do balanço entre pressão (impulsionadora) e viscosidade (resistência). Centro mais rápido, parede com velocidade zero (não‑deslizamento).
  • Validade: aplica‑se para fluido newtoniano, incompressível, escoamento laminar e plenamente desenvolvido em tubo circular reto; geralmente para \mathrm{Re}\lesssim 2000.
  • Limitações: não vale para escoamento turbulento (perfil diferente), região de entrada (perfil não desenvolvido), fluidos não‑newtonianos, efeitos de compressibilidade, parede rugosa/deslizante, curvaturas fortes, ou quando \partial p/\partial z não for independente de r.

Exercícios relacionados