Considere a curva \r \vec{r}(t)=\left(t^{2}+2 t+1, \cos ^{2}(2 t+1)\right)\r. Calcule \r \vec{r}^{\prime}(t)\r.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função vetor \displaystyle \vec r(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr)
com
x(t) = t^{2} + 2t + 1, \quad y(t) = \cos^{2}\bigl(2t + 1\bigr).
Vamos aplicar a derivação componente a componente e, no caso de y(t), usar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando x(t) em relação a t:
x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^{2} + 2t + 1\bigr) = 2t + 2.

Passo 3

Para derivar \displaystyle y(t)=\cos^{2}\bigl(2t+1\bigr), considere u(t)=2t+1 e h(u)=\cos^{2}u.
Pela regra da cadeia:
y'(t) = h'\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t).
Sabendo que
h'(u) = 2\cos(u)\,\bigl(-\sin(u)\bigr) = -2\cos(u)\sin(u), \quad u'(t)=2,
temos
y'(t) = -2\cos\bigl(2t+1\bigr)\,\sin\bigl(2t+1\bigr)\times 2 = -4\cos(2t+1)\sin(2t+1).

Passo 4

Reunindo as componentes, a derivada vetorial é
\vec r\,'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) = \bigl(2t+2,\,-4\cos(2t+1)\sin(2t+1)\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec r\,'(t) = \bigl(2t+2,\,-4\cos(2t+1)\sin(2t+1)\bigr).

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