Seja \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, 0)\r. Calcule os vetores \r \vec{T}(t), \vec{N}(t)\r e \r \vec{B}(t)\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva \vec r(t)=(\cos t,\sin t,0) e pede o triêdo de Frenet: o vetor tangente unitário \vec T(t), o vetor normal principal \vec N(t) e o binormal \vec B(t). Vamos usar as definições
\vec T(t)=\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|},\quad \vec N(t)=\frac{\vec T\,'(t)}{\|\vec T\,'(t)\|},\quad \vec B(t)=\vec T(t)\times\vec N(t).

Passo 2

Calcular \vec r\,'(t) e seu módulo:
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\cos t,0), \quad \|\vec r\,'(t)\|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1.
Logo
\vec T(t)=\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|}=(-\sin t,\cos t,0).

Passo 3

Derivar \vec T(t) e normalizar:
\vec T\,'(t)=(-\cos t,-\sin t,0), \quad \|\vec T\,'(t)\|=\sqrt{\cos^2t+\sin^2t}=1.
Logo
\vec N(t)=\frac{\vec T\,'(t)}{\|\vec T\,'(t)\|}=(-\cos t,-\sin t,0).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec T(t)\times\vec N(t):
\vec T(t)\times\vec N(t) =\det\begin{pmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ -\sin t&\cos t&0\\\\ -\cos t&-\sin t&0\end{pmatrix} =(0,0,1).
Portanto
\vec B(t)=(0,0,1).

Resposta

\vec T(t)=(-\sin t,\cos t,0) \vec N(t)=(-\cos t,-\sin t,0) \vec B(t)=(0,0,1)

Exercícios relacionados