Considere a dinâmica de período curto do A 310 , descrita pelas matrizes Apc e Bpc , relacionada com os estados q e \alpha, e controle \delta \mathrm{p}.
Calcule de forma analítica a matriz de ganhos K do projeto de aumento de estabilidade, utilizando realocação de polos com realimentação de estados, tendo que em conta que os pólos desejados da matriz de malha fechada tem \omega_{n}=\pi \frac{r a d}{s} e \xi=0.7.
Passo 1
O enunciado dá a dinâmica no espaço de estados (sub-sistema de curto período) com matrizes de estado e de entrada, e pede o ganho de realimentação de estados K que realoque os polos para os desejados. Dados fornecidos:
Os polos desejados são os de um par complexo com frequência natural \omega_n=\pi (rad/s) e amortecimento \xi=0{,}7.
O objetivo: encontrar K=[k_1\;\;k_2] tal que, com realimentação de estados u=-Kx, a matriz de malha fechada A_{cl}=A_{p c}-B_{p c}K tenha os polos desejados.]
Passo 2
Calculo dos coeficientes do polinómio característico desejado. Para um par complexo convém escrever o polinómio desejado em forma padrão:
Explicação do método (com passo-a-passo didático). Para realimentação de estados u=-Kx temos A_{cl}=A-BK. O polinómio característico de A_{cl} para matriz 2\times2 é
Queremos que esse polinómio seja igual a \text{pol}_{d}(s). Assim igualamos coeficientes: soma dos autovalores (coeficiente de s) e produto dos autovalores (termo independente). Isso gera duas equações lineares em k_1,k_2.
Primeira equação (soma dos autovalores):
\operatorname{tr}(A_{cl})=\operatorname{tr}(A-BK)=\operatorname{tr}(A)-\operatorname{tr}(BK)=\operatorname{tr}(A)-K B.
Mas \operatorname{tr}(A_{cl}) deve ser o somatório dos polos desejados, isto é -2\xi\omega_n. Logo:
\operatorname{tr}(A)-K B = -2\xi\omega_n.
Segunda equação (determinante): para 2\times2 podemos expandir explicitamente \det(A-BK). Se escrever A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} e B=\begin{bmatrix}b_1\b_2\end{bmatrix}, com K=[k_1\;k_2], obtém-se (expansão direta)
Essa fórmula resulta de expandir \det(A-BK) e observar que os termos quadráticos em k se cancelam (produto dos termos b_1b_2k_1k_2 aparecem com sinais opostos). Devemos igualar essa determinante a \omega_n^2:
Verificação rápida (controle de consistência): com estes k_1,k_2 temos K=[-0{,}4808109\;\; -0{,}4997639]. Podemos checar os dois requisitos principais:
Soma dos autovalores de A-BK: \operatorname{tr}(A)-K B\approx -1{,}9037 -(-5{,}0975\cdot -0{,}4808109 + -0{,}0849\cdot -0{,}4997639)\approx -4{,}39823 (que corresponde a -2\xi\omega_n).
Determinante \det(A-BK)\approx 9{,}8696 (que corresponde a \omega_n^2).
Ambas as verificações ficam satisfeitas dentro dos arredondamentos usados, confirmando que os polos fechados ficaram realocados para os valores desejados.