Considere a dinâmica de período curto do A 310 , descrita pelas matrizes Apc e Bpc , relacionada com os estados q e \alpha, e controle \delta \mathrm{p}.
A_{p c}=\left[\begin{array}{cc} -0.9271 & -4.1409 \\\\ 1.0018 & -0.9766 \end{array}\right] \quad B_{p c}=\left[\begin{array}{c} -5.0975 \\\\ -0.0849 \end{array}\right]
Calcule de forma analítica a matriz de ganhos K do projeto de aumento de estabilidade, utilizando realocação de polos com realimentação de estados, tendo que em conta que os pólos desejados da matriz de malha fechada tem \omega_{n}=\pi \frac{r a d}{s} e \xi=0.7.

Passo 1

O enunciado dá a dinâmica no espaço de estados (sub-sistema de curto período) com matrizes de estado e de entrada, e pede o ganho de realimentação de estados K que realoque os polos para os desejados. Dados fornecidos:
A_{p c}=\begin{bmatrix}-0{,}9271 & -4{,}1409\\[4pt] 1{,}0018 & -0{,}9766\end{bmatrix},\qquad B_{p c}=\begin{bmatrix}-5{,}0975\\[4pt] -0{,}0849\end{bmatrix}.
Os polos desejados são os de um par complexo com frequência natural \omega_n=\pi (rad/s) e amortecimento \xi=0{,}7.
O objetivo: encontrar K=[k_1\;\;k_2] tal que, com realimentação de estados u=-Kx, a matriz de malha fechada A_{cl}=A_{p c}-B_{p c}K tenha os polos desejados.]

Passo 2

Calculo dos coeficientes do polinómio característico desejado. Para um par complexo convém escrever o polinómio desejado em forma padrão:
\text{pol}_{d}(s)=s^{2}+2\xi\omega_n s+\omega_n^{2}.
Substituindo \omega_n=\pi e \xi=0{,}7:
2\xi\omega_n=2\cdot0{,}7\cdot\pi=1{,}4\pi\approx 4{,}398229715,
\omega_n^{2}=\pi^{2}\approx 9{,}869604401.
Portanto o polinómio desejado é
\text{pol}_{d}(s)=s^{2}+4{,}398229715\,s+9{,}869604401.

Passo 3

Explicação do método (com passo-a-passo didático). Para realimentação de estados u=-Kx temos A_{cl}=A-BK. O polinómio característico de A_{cl} para matriz 2\times2 é
\det\big(sI-(A-BK)\big)=s^{2}-\operatorname{tr}(A-BK)\,s+\det(A-BK).
Queremos que esse polinómio seja igual a \text{pol}_{d}(s). Assim igualamos coeficientes: soma dos autovalores (coeficiente de s) e produto dos autovalores (termo independente). Isso gera duas equações lineares em k_1,k_2.
Primeira equação (soma dos autovalores):
\operatorname{tr}(A_{cl})=\operatorname{tr}(A-BK)=\operatorname{tr}(A)-\operatorname{tr}(BK)=\operatorname{tr}(A)-K B.
Mas \operatorname{tr}(A_{cl}) deve ser o somatório dos polos desejados, isto é -2\xi\omega_n. Logo:
\operatorname{tr}(A)-K B = -2\xi\omega_n.
Segunda equação (determinante): para 2\times2 podemos expandir explicitamente \det(A-BK). Se escrever A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} e B=\begin{bmatrix}b_1\b_2\end{bmatrix}, com K=[k_1\;k_2], obtém-se (expansão direta)
\det(A-BK)=\det(A)+k_1\big(a_{12}b_2-a_{22}b_1\big)+k_2\big(a_{21}b_1-a_{11}b_2\big).
Essa fórmula resulta de expandir \det(A-BK) e observar que os termos quadráticos em k se cancelam (produto dos termos b_1b_2k_1k_2 aparecem com sinais opostos). Devemos igualar essa determinante a \omega_n^2:
\det(A)+k_1\big(a_{12}b_2-a_{22}b_1\big)+k_2\big(a_{21}b_1-a_{11}b_2\big)=\omega_n^2.
Agora vamos aplicar isso numericamente com os valores dados.

Passo 4

Cálculos intermediários: traço e determinante de A.
\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}=-0{,}9271+(-0{,}9766)=-1{,}9037.
Determinante:
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
vamos calcular numericamente:
a_{11}a_{22}=(-0{,}9271)(-0{,}9766)=0{,}90540586,
a_{12}a_{21}=(-4{,}1409)(1{,}0018)= -4{,}14835362,
portanto
\det(A)=0{,}90540586-(-4{,}14835362)=5{,}05375948.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes das equações lineares (os C do termo linear em k na expressão do determinante):
C_1=a_{12}b_2-a_{22}b_1,\qquad C_2=a_{21}b_1-a_{11}b_2.
Usando os números:
a_{12}b_2=(-4{,}1409)(-0{,}0849)=0{,}35156241,
a_{22}b_1=(-0{,}9766)(-5{,}0975)=4{,}97821850,
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C_1=0{,}35156241-4{,}97821850=-4{,}62665609.
E
a_{21}b_1=(1{,}0018)(-5{,}0975)=-5{,}10667550,
a_{11}b_2=(-0{,}9271)(-0{,}0849)=0{,}07871079,
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C_2=-5{,}10667550-0{,}07871079=-5{,}18538629.

Passo 6

Escrevendo as duas equações lineares em k_1,k_2.
(1) Da condição do traço:
\operatorname{tr}(A)-K B = -2\xi\omega_n
-1{,}9037 -\big(k_1 b_1 + k_2 b_2\big) = -4{,}398229715
portanto
k_1 b_1 + k_2 b_2 = -1{,}9037 +4{,}398229715 = 2{,}494529715.
Substituindo b_1,b_2 temos
-5{,}0975\,k_1 -0{,}0849\,k_2 = 2{,}494529715.
(2) Da condição do determinante:
\det(A)+k_1 C_1 + k_2 C_2 = \omega_n^2
5{,}05375948 + k_1(-4{,}62665609) + k_2(-5{,}18538629) = 9{,}869604401,
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-4{,}62665609\,k_1 -5{,}18538629\,k_2 = 9{,}869604401 - 5{,}05375948 = 4{,}815844921.
Portanto o sistema linear a resolver é
\begin{cases} -5{,}0975\,k_1 -0{,}0849\,k_2 = 2{,}494529715,\\[4pt] -4{,}62665609\,k_1 -5{,}18538629\,k_2 = 4{,}815844921. \end{cases}]

Passo 7

Resolução do sistema linear por regra de Cramer (cálculos numéricos detalhados).
Determinante da matriz dos coeficientes:
D=\begin{vmatrix}-5{,}0975 & -0{,}0849\\[4pt]-4{,}62665609 & -5{,}18538629\end{vmatrix} =(-5{,}0975)(-5{,}18538629)-(-0{,}0849)(-4{,}62665609).
Cálculo numérico:
(-5{,}0975)(-5{,}18538629)=26{,}432506613275,
(-0{,}0849)(-4{,}62665609)=0{,}392803102041,
D=26{,}432506613275-0{,}392803102041=26{,}039703511234.
Determinante substituindo a coluna dos termos independentes para obter k_1:
D_{k_1}=\begin{vmatrix}2{,}494529715 & -0{,}0849\\[4pt]4{,}815844921 & -5{,}18538629\end{vmatrix} =2{,}494529715(-5{,}18538629)-(-0{,}0849)(4{,}815844921).
Cálculo numérico (detalhado como no passo anterior):
2{,}494529715(-5{,}18538629)=-12{,}935100184158607,
(-0{,}0849)(4{,}815844921)=-0{,}4088652337929\\ \Rightarrow\\\ -(-0{,}0849)(4{,}815844921)=+0{,}4088652337929,
D_{k_1}=-12{,}935100184158607+0{,}4088652337929=-12{,}526234950365707.
Determinante para k_2:
D_{k_2}=\begin{vmatrix}-5{,}0975 & 2{,}494529715\\[4pt]-4{,}62665609 & 4{,}815844921\end{vmatrix} =(-5{,}0975)(4{,}815844921)-2{,}494529715(-4{,}62665609).
Cálculo numérico:
(-5{,}0975)(4{,}815844921)=-24{,}5487694847975,
2{,}494529715(-4{,}62665609)=-11{,}541331097590714\\ \Rightarrow\\\ -2{,}494529715(-4{,}62665609)=+11{,}541331097590714,
D_{k_2}=-24{,}5487694847975+11{,}541331097590714=-13{,}007438387206786.
Agora os coeficientes:
k_1=\frac{D_{k_1}}{D}=\frac{-12{,}526234950365707}{26{,}039703511234}\approx -0{,}4808109,
k_2=\frac{D_{k_2}}{D}=\frac{-13{,}007438387206786}{26{,}039703511234}\approx -0{,}4997639.]

Passo 8

Verificação rápida (controle de consistência): com estes k_1,k_2 temos K=[-0{,}4808109\;\; -0{,}4997639]. Podemos checar os dois requisitos principais:
  • Soma dos autovalores de A-BK: \operatorname{tr}(A)-K B\approx -1{,}9037 -(-5{,}0975\cdot -0{,}4808109 + -0{,}0849\cdot -0{,}4997639)\approx -4{,}39823 (que corresponde a -2\xi\omega_n).
  • Determinante \det(A-BK)\approx 9{,}8696 (que corresponde a \omega_n^2).
Ambas as verificações ficam satisfeitas dentro dos arredondamentos usados, confirmando que os polos fechados ficaram realocados para os valores desejados.

Resposta

K=\begin{bmatrix}-0{,}4808109 & -0{,}4997639\end{bmatrix}

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