Considere a distribuição dada abaixo dos funcionários de uma empresa por tempo de casa.
Tempo de
empresa (em
anos)
Frequência
Absoluta \left(\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{i}}\right)
0 \vdash 5 10
5 \vdash 10 14
10 \vdash 15 8
15 \vdash 20 4
20 \vdash 25 4
Total 40
Com base nesses dados, determine:
a) A média aritmética e a mediana do tempo de empresa.
b) A variância e o desvio padrão

Passo 1

Resumindo, temos uma distribuição de freqüências de funcionários por tempo de empresa em cinco classes de amplitude h=5 anos e total N=40. O que se pede são medidas de posição (média e mediana) e de dispersão (variância e desvio-padrão) para dados agrupados.

Passo 2

Para calcular a média aritmética de dados agrupados, primeiro encontramos o ponto médio de cada classe \displaystyle x_i, multiplicamos pela frequência absoluta n_i e dividimos por N.
Os pontos médios e produtos são:
\begin{array}{c|cc} \text{Classe} & x_i & n_i\,x_i\\hline 0\vdash5 & 2{,}5 & 10\cdot2{,}5=25\\\\ 5\vdash10 & 7{,}5 & 14\cdot7{,}5=105\\\\ 10\vdash15 & 12{,}5 & 8\cdot12{,}5=100\\\\ 15\vdash20 & 17{,}5 & 4\cdot17{,}5=70\\\\ 20\vdash25 & 22{,}5 & 4\cdot22{,}5=90\\hline \sum & & 390 \end{array}
Logo,
\bar x = \frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{390}{40} = 9{,}75\\ (\text{anos}).

Passo 3

Para a mediana usamos interpolação na classe onde o somatório acumulado ultrapassa N/2=20. As freqüências acumuladas são: 10 em 0\vdash5, 24 em 5\vdash10, etc.
A mediana está na segunda classe [5,10), em que F_{\text{ant}}=10, n_{\text{med}}=14 e L_{\text{inf}}=5. Pelo método linear:
\tilde x = L_{\text{inf}} + \frac{\frac{N}{2}-F_{\text{ant}}}{n_{\text{med}}}\;h =5 + \frac{20-10}{14}\cdot5 =5 + \frac{10}{14}\cdot5 \approx8{,}57\\ (\text{anos}).

Passo 4

Para a variância populacional de dados agrupados precisamos de \sum n_i x_i^2. Calculamos:
\begin{array}{c|cc} \text{Classe} & x_i^2 & n_i\,x_i^2\\hline 0\vdash5 & 2{,}5^2=6{,}25 & 10\cdot6{,}25=62{,}5\\\\ 5\vdash10 & 7{,}5^2=56{,}25 & 14\cdot56{,}25=787{,}5\\\\ 10\vdash15 & 12{,}5^2=156{,}25& 8\cdot156{,}25=1250\\\\ 15\vdash20 & 17{,}5^2=306{,}25& 4\cdot306{,}25=1225\\\\ 20\vdash25 & 22{,}5^2=506{,}25& 4\cdot506{,}25=2025\\hline \sum & & 5350 \end{array}
A variância populacional é
\sigma^2 =\frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar x^2 =\frac{5350}{40} - (9{,}75)^2 =133{,}75 - 95{,}0625 =38{,}6875\\ (\text{anos}^2).
E o desvio-padrão é
\sigma = \sqrt{38{,}6875}\approx6{,}22\\ (\text{anos}).

Resposta

a) \displaystyle \bar x=9{,}75 anos; \displaystyle \tilde x\approx8{,}57 anos.
b) \displaystyle \sigma^2\approx38{,}69 anos ^2; \displaystyle \sigma\approx6{,}22 anos.

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