No controle do diâmetro de uma peça, usam-se calibres do tipo passa não passa, com diâmetros 15,10 \mathrm{~mm} e 14,90 \mathrm{~mm}, respectivamente. Supondo nque a máquina está produzindo peças com distribuição N \sim\left(15,03 \mathrm{~mm} ; 0,0009 \mathrm{~mm}^{2}\right), que proporção da produção será rejeitada (O calibre passa não passa rejeita peças com diâmetro inferior a 14,90 \mathrm{~mm} ou superior a 15,10 \mathrm{~mm} ). (1%)

Passo 1

O enunciado diz que a peça tem diâmetro X com distribuição normal
X \sim N\bigl(\mu=15,03\text{ mm},\;\sigma^2=0,0009\text{ mm}^2\bigr),
logo \sigma=\sqrt{0,0009}=0,03 mm. O calibre aceita diâmetros entre 14,90 mm e 15,10 mm. Queremos a proporção rejeitada, ou seja,
P(X<14,90)+P(X>15,10).

Passo 2

Padronizamos para a cauda inferior. Definindo
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
temos
z_1=\frac{14,90-15,03}{0,03}=-\frac{0,13}{0,03}\approx -4{,}33.
Assim,
P(X<14,90)=P\bigl(Z<-4,33\bigr)\approx 7{,}4\times10^{-6}.

Passo 3

Padronizamos para a cauda superior. Calculamos
z_2=\frac{15,10-15,03}{0,03}=\frac{0,07}{0,03}\approx 2{,}33.
Então
P(X>15,10)=P\bigl(Z>2,33\bigr)=1-\Phi(2,33)\approx 1-0,9901=0,0099.

Passo 4

Somando as duas caudas, a fração rejeitada é
P_{\text{rej}}=0,0099 + 7{,}4\times10^{-6}\approx 0,00991\approx 0,99\%.

Resposta

Aproximadamente 0,99\% da produção será rejeitada.

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