Considere que dois átomos se aproximam e ligam-se quimicamente no sentido de minimizar a energia total do sistema. Observa-se que existe uma distância ro em que a energia é mínima, que será o parâmetro de rede do sistema, ou a distância natural entre esses dois átomos. Observa-se ainda que este tipo de curva pode ser aproximado por uma função que segue:
\mathrm{E}(\mathrm{r})=\mathrm{A} / \mathrm{r}^{\mathrm{n}}-\mathrm{B} / \mathrm{r}^{\mathrm{m}} onde \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{n} e m são constantes que dependem do tipo de material e de outros parâmetros do sistema, onde n representa atratividade eletrostática enquanto m representa uma repulsividade eletrostática entre os átomos.
a - Esboce o gráfico de E(r) em função de r.
b - Explique resumidamente o que acontece quando \mathrm{r}>\mathrm{r}_{0} e quando \mathrm{r}<\mathrm{r}_{0}.
c - Calcule ro, pelo método de derivação onde a energia mínima ocorre quando não há força.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial entre dois átomos como
E(r)=\frac{A}{r^{n}}-\frac{B}{r^{m}},
onde A, B, n e m são constantes do sistema. Pede-se:
  • (a) esboçar o gráfico de E(r) em função de r;
  • (b) explicar o que ocorre quando r>r_0 e quando r<r_0, sendo r_0 a distância onde a energia é mínima;
  • (c) calcular r_0 usando que a energia é mínima quando não há força resultante entre os átomos.
Informações relevantes que temos e que vou assumir para fazer sentido físico da curva (isso é usual nesses modelos):
  • Vou assumir A>0 e B>0.
  • Vou assumir também n>m. Essa condição física significa que o termo repulsivo cresce mais rápido em distâncias curtas do que o termo atrativo, o que garante um mínimo estável em E(r). Se as constantes tiverem sinais ou ordens diferentes, o comportamento muda; aqui trabalho com o caso físico típico.

Passo 2

Entendendo o comportamento em extremos (isso ajuda a esboçar o gráfico): analisar os limites quando r\to 0^+ e quando r\to\infty.
  • Quando r\to 0^+: os termos \dfrac{A}{r^{n}} e \dfrac{B}{r^{m}} tendem a infinito, mas como n>m, o termo \dfrac{A}{r^{n}} domina (é muito maior do que o outro). Como A>0, temos
E(r)\approx \frac{A}{r^{n}}\to +\infty \quad \text{quando } r\to 0^+.
Isto corresponde à forte repulsão em distâncias muito pequenas.
  • Quando r\to\infty: ambos os termos tendem a zero, mas o termo atrativo (o que tem menor expoente) domina a aproximação do zero; especificamente
\frac{A}{r^{n}}\to 0^+,\qquad \frac{B}{r^{m}}\to 0^+,
e como o sinal total é +\dfrac{A}{r^n}-\dfrac{B}{r^m}, para grandes r a energia tende a zero por baixo (valor negativo pequeno) se o termo atrativo é relevante, ou seja
E(r)\to 0^- \quad \text{quando } r\to\infty.

Passo 3

Esboço qualitativo do gráfico (explicado em palavras, passo a passo, para você desenhar na prova):
  • No eixo horizontal está r (distância), no vertical E(r).
  • Para r muito pequeno, E(r) é muito grande e positiva (tende a +\infty): a curva sobe fortemente à esquerda.
  • Ao aumentar r a partir de valores muito pequenos, a energia decresce até atingir um mínimo em r=r_0; esse mínimo é negativo (energia ligada) em geral.
  • Para r>r_0 a curva sobe lentamente e se aproxima de zero por baixo quando r\to\infty.
  • Em resumo: uma curva com um poço (mínimo) em r_0, com assimptótica horizontal em E=0 à direita, e subida vertical para +\infty à esquerda.
Dica prática para esboçar rápido na prova: marque r_0 no eixo r, desenhe um poço em E(r_0)<0, ligue com uma cauda decrescente suave até 0 à direita e uma subida muito acentuada à esquerda.

Passo 4

Conceito físico e relação força‑energia (aula curtinha): a força radiais entre os átomos é dada por
F(r)=-\frac{dE}{dr}.
Interpretação: se F(r)>0 a força é repulsiva (empurra os átomos para distâncias maiores), se F(r)<0 a força é atrativa (puxa os átomos para mais perto). No ponto de equilíbrio estável r=r_0 temos F(r_0)=0, que corresponde a um mínimo de E(r).

Passo 5

Calcular o derivado de E(r) (passo algebraico detalhado):
Partimos de
E(r)=\frac{A}{r^{n}}-\frac{B}{r^{m}}.
Derivando em relação a r (usar regra de potência: \dfrac{d}{dr}\,r^{-k}=-k\,r^{-(k+1)}):
\frac{dE}{dr} = -nA\,r^{-(n+1)} + mB\,r^{-(m+1)}.

Passo 6

Condição de equilíbrio (força nula) e resolução para r_0:
Equilíbrio quando F(r_0)=0, isto é -\dfrac{dE}{dr}\big|_{r_0}=0, equivalente a \dfrac{dE}{dr}\big|_{r_0}=0. Então impondo
-nA\,r_0^{-(n+1)} + mB\,r_0^{-(m+1)} = 0.
Passos algébricos para isolar r_0:
  1. Mover um termo para o outro:
mB\,r_0^{-(m+1)} = nA\,r_0^{-(n+1)}.
  1. Multiplicar ambos os lados por r_0^{n+1}:
mB\,r_0^{n-(m)} = nA.
  1. Isolar r_0^{\,n-m}:
r_0^{\,n-m} = \frac{nA}{mB}.
  1. Tomar potência 1/(n-m):
r_0 = \left(\frac{nA}{mB}\right)^{\frac{1}{\,n-m\,}}.
Esse é o valor de r_0 (assumindo A>0, B>0 e n>m, garantindo que a razão dentro da potência é positiva e que o expoente faz sentido).

Passo 7

Interpretação do sinal da força para r em relação a r_0 (para responder a parte b com fundamento matemático):
  • Para r>r_0: compare \dfrac{dE}{dr}. Se r>r_0 a segunda parcela mB\,r^{-(m+1)} é relativamente maior que a primeira? Na prática a derivada \dfrac{dE}{dr} fica positiva (pois o termo com expoente menor decai mais devagar), então
\frac{dE}{dr}>0 \quad\Rightarrow\quad F(r)=-\frac{dE}{dr}<0,
ou seja, a força é negativa — é uma força atrativa que puxa os átomos um para o outro; assim, se os átomos estão mais separados que r_0 eles tendem a se aproximar até r_0.
  • Para r<r_0: análogo, \dfrac{dE}{dr}<0 então F(r)>0, força repulsiva que afasta os átomos; se estiverem muito próximos, a repulsão os empurra para longe até r_0.
Essas conclusões são exatamente o que se espera fisicamente: r_0 é o ponto de equilíbrio estável onde forças de atração e repulsão se equilibram.

Resposta

(a) Gráfico: curva com E(r)\to+\infty quando r\to 0^+, mínimo em r=r_0 com E(r_0)<0, e aproximação para E(r)\to 0^- quando r\to\infty.
(b) Para r>r_0: força resultante atrativa (átomos são puxados, tendem a diminuir r). Para r<r_0: força resultante repulsiva (átomos são empurrados, tendem a aumentar r).
(c) r_0=\left(\frac{nA}{mB}\right)^{\frac{1}{\,n-m\,}}.

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