Considere dois autoestados de energia ortonormais |1rang<= e |2rang<=, onde H|1rang<==E1|1rang<= e H|2rang<==E2|2rang<=, H é o operador Hamiltoniano e E1 neq E2 |Arang<= e |Brang<= definem duas diferentes combinações lineares dos estados |1rang<= e |2rang<=:
|Arang<==|1rang<=+i|2rang<=raiz2 e |Brang<==|1rang<=-i|2rang<=raiz2
Se inicialmente no tempo t=0 a partícula está num estado |psi(0)rang<==A, qual é a função de onda |psi(t)rang<= para um t qualquer?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é de Mecânica Quântica, mais especificamente de evolução temporal de estados. A gente tem dois autoestados ortonormais |1rang<= e |2rang<= do Hamiltoniano H, com autovalores E1neq E2, e dois vetores
|Arang<==|1rang<=+i|2rang<=raiz2, |Brang<==|1rang<=-i|2rang<=raiz2
O enunciado diz que no tempo t=0 o sistema está em |psi(0)rang<==|Arang<= e pergunta qual é |psi(t)rang<= em tempo genérico t.
Para resolver isso a gente vai precisar do princípio de evolução temporal em QM: se H|nrang<==En|nrang<=, então
U(t)=e^-,tfracihbarHt
faz com que
U(t),|nrang<==e^-,tfracihbarEn t,|nrang<=

Passo 2

Primeiro, vamos escrever claramente o estado inicial em termos de |1rang<= e |2rang<=:
|psi(0)rang<==|Arang<==|1rang<=+i|2rang<=raiz2
Aqui não precisamos decompor nada mais, pois já está na base de autostados.

Passo 3

Agora aplicamos o operador de evolução temporal U(t)=e^-,tfracihbarHt em cada autovetor. Usando
U(t),|1rang<==e^-,tfracihbarE1 t|1rang<=, U(t),|2rang<==e^-,tfracihbarE2 t|2rang<=,
ficamos com
|psi(t)rang<= =U(t),|psi(0)rang<= =1raiz2l(e^-,tfracihbarE1 t|1rang<= ;+; i,e^-,tfracihbarE2 t|2rang<=r)

Resposta

boxed|psi(t)rang<= =1raiz2l(e^-,tfracihbarE1 t,|1rang<= ;+;i,e^-,tfracihbarE2 t,|2rang<=r)

Exercícios relacionados