Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais Rn(r) Yl^m(theta, phi), onde Yl^m(theta, phi) são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
d) psi(r1, r2)=A[R1(r1) Y4^3(theta1, phi1) R1(r2) Y4^3(theta2, phi2)](|uparrow downarrowrang<=+|downarrow uparrowrang<=)

Passo 1

Então, temos um exercício sobre dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico. As funções de onda são dadas por Rn(r) Yl^m(theta, phi), onde Yl^m(theta, phi) são os Harmônicos Esféricos. A gente precisa verificar se a função de onda apresentada na alternativa d) é válida para esse sistema. Para isso, vamos precisar entender como as funções de onda dos elétrons e os estados de spin se combinam respeitando o princípio de exclusão de Pauli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que elétrons são férmions, ou seja, eles obedecem ao princípio de exclusão de Pauli. Isso significa que a função de onda total do sistema deve ser antissimétrica em relação à troca dos dois elétrons. A função de onda total é o produto da parte espacial pela parte de spin.

Passo 3

Na alternativa d), a parte espacial é dada por:
R1(r1) Y4^3(theta1, phi1) cdot R1(r2) Y4^3(theta2, phi2)
Observamos que os dois elétrons estão no mesmo estado espacial, ou seja, têm os mesmos números quânticos radiais e angulares. Isso significa que a parte espacial é simétrica em relação à troca dos elétrons.

Passo 4

Agora, olhemos para a parte de spin:
|uparrow downarrowrang<= + |downarrow uparrowrang<=
Essa combinação é simétrica em relação à troca dos spins dos elétrons. Ou seja, se trocarmos os elétrons, a parte de spin não muda.

Passo 5

Para que a função de onda total seja antissimétrica, se a parte espacial é simétrica, a parte de spin precisa ser antissimétrica, e vice-versa. No caso da alternativa d), ambas as partes, espacial e de spin, são simétricas. Isso significa que a função de onda total também é simétrica, o que viola o princípio de exclusão de Pauli para férmions.

Passo 6

Portanto, a função de onda apresentada na alternativa d) não é válida para um sistema de dois elétrons, pois não satisfaz a condição de antissimetria exigida para férmions.

Resposta

A alternativa d) apresenta uma função de onda inválida para o sistema de dois elétrons, pois não respeita a antissimetria necessária pelo princípio de exclusão de Pauli.

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