Um sistema possui um único estado de energia possível. Entretanto, quando sua temperatura é alterada, ele passa a ter 8 possíveis estados de energia. Qual o ganho de entropia do sistema?
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um sistema que muda sua temperatura, passando de ter 1 estado de energia para 8 estados de energia diferentes. O que precisamos encontrar é o ganho de entropia desse sistema. Para isso, vamos usar o conceito de entropia na termodinâmica, que está relacionada ao número de estados possíveis que um sistema pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é entropia. Entropia, representada por $ S $, é uma medida de desordem ou aleatoriedade em um sistema. Quanto mais estados diferentes um sistema pode ter, maior é a sua entropia. A fórmula que usamos para calcular a entropia é:
Aqui, $ \mathrm{k}_{\mathrm{B}} $ é a constante de Boltzmann e $ W $ é o número de estados de energia disponíveis.
Passo 3
No nosso problema, inicialmente o sistema tem 1 estado de energia, ou seja, $ W_{inicial} = 1 $. Quando a temperatura muda, ele passa a ter 8 estados de energia, então $ W_{final} = 8 $.
Passo 4
Queremos encontrar o ganho de entropia, que é a diferença entre a entropia final e a entropia inicial:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Calculando a entropia inicial:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Passo 6
Agora, calculando a entropia final:
Passo 7
Subtraindo a entropia inicial da final para encontrar o ganho de entropia:
Resposta
O ganho de entropia do sistema é $ \mathrm{k}_{\mathrm{B}} \ln(8) $.