Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais
, onde
são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico, e queremos verificar se uma determinada função de onda é válida para esse sistema. A função de onda envolve componentes espaciais dadas por $ R_{n}® Y_{l}^{m}(\theta, \phi) $ e estados de spin representados pelas setas para cima ($ \uparrow
\downarrow $). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a simetria das funções de onda e os princípios que regem partículas como os elétrons, que são férmions.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que os elétrons são partículas do tipo férmion. Isso significa que a função de onda total do sistema deve ser antissimétrica quando trocamos os dois elétrons. Ou seja, se a trocarmos, a função de onda deve mudar de sinal:
Passo 3
Vamos analisar a parte espacial da função de onda fornecida na alternativa (e):
Aqui, vemos que ambas as funções de posição para os dois elétrons são exatamente as mesmas. Isso significa que se trocarmos $ r_1 $ com $ r_2 $, a parte espacial da função de onda não muda:
Então, a parte espacial é simétrica.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a parte de spin da função de onda:
Isso significa que ambos os elétrons têm spin para cima. Se trocarmos os dois elétrons, o estado de spin também não muda:
Portanto, a parte de spin também é simétrica.
Passo 5
Para que a função de onda total seja antissimétrica (como exigido para férmions), se a parte espacial é simétrica, a parte de spin deve ser antissimétrica, e vice-versa. No nosso caso, ambas as partes — espacial e de spin — são simétricas. Quando multiplicamos duas funções simétricas, o resultado também é simétrico:
Isso não satisfaz a condição de antissimetria necessária para uma função de onda válida de dois elétrons.
Resposta
A alternativa (e) não apresenta uma possível função de onda válida para o sistema de dois elétrons, pois a função total resultante é simétrica, e ela precisa ser antissimétrica para respeitar o princípio de exclusão de Pauli.