Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais
, onde
são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico, e queremos saber se a função de onda proposta na alternativa (a) é válida. Para resolver isso, precisamos saber sobre funções de onda, simetria espacial e de spin, além de como combinar essas partes para obedecer o princípio de exclusão de Pauli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que elétrons são férmions, o que significa que a função de onda total do sistema precisa ser antissimétrica quando trocamos os dois elétrons. Isso é o princípio de exclusão de Pauli: se você trocar os dois elétrons, a função de onda muda de sinal.
Passo 3
A função de onda total é um produto da parte espacial e da parte de spin. Ou seja:
Para que a função total seja antissimétrica, se a parte espacial for simétrica, a parte de spin deve ser antissimétrica, e vice-versa.
Passo 4
Vamos analisar a parte espacial da função proposta na alternativa (a):
Esse termo é simétrico em relação à troca dos elétrons 1 e 2, porque se você trocar $ r_{1} $ com $ r_{2} $ e $ \theta_{1}, \phi_{1} $ com $ \theta_{2}, \phi_{2} $, a expressão permanece a mesma.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a parte de spin:
Essa combinação é antissimétrica em relação à troca dos spins dos elétrons. Se você trocar os elétrons, o sinal muda.
Passo 6
Como a parte espacial é simétrica e a parte de spin é antissimétrica, o produto das duas será:
Isso satisfaz o requisito do princípio de exclusão de Pauli para elétrons.
Resposta
A alternativa (a) apresenta uma função de onda válida para o sistema de dois elétrons.