Considere dois solenoides coaxiais ambos de raio
com densidades de espiras
e
. Os solenoides estão conectados a diferentes circuitos. O primeiro solenoide, de densidade
, está conectado a um resistor de resistência
. Inicialmente a corrente que passa pelo resistor é zero. O segundo solenoide, de densidade
, está conectado a um capacitor de capacitância
, que inicialmente possui uma carga
.
(a) Determine as autoindutâncias de cada solenoide e a indutancia mútua entre ambos.
(b) Usando as leis de Kirchhoff, determine as duas equações diferenciais acopladas que representam o sistema.
(c) Encontre a equação que desacopla as correntes dos dois circuitos. (Dica: Isole o termo de corrente do círcuito dois da equação do circuito um e, em seguida, substitua-o na equação do segundo circuito). (0,5p)
(d) Resolva a equação encontrada no item anterior, determinando a corrente no circuito 2. (Dica: Tente uma solução do tipo
, não se esqueça que temos duas possíveis soluçōes.)
(e) Determine a corrente no circuito
(f) Qual condição para a corrente nos circuitos oscilar?
(a) Determine as autoindutâncias de cada solenoide e a indutancia mútua entre ambos.
(b) Usando as leis de Kirchhoff, determine as duas equações diferenciais acopladas que representam o sistema.
(c) Encontre a equação que desacopla as correntes dos dois circuitos. (Dica: Isole o termo de corrente do círcuito dois da equação do circuito um e, em seguida, substitua-o na equação do segundo circuito). (0,5p)
(d) Resolva a equação encontrada no item anterior, determinando a corrente no circuito 2. (Dica: Tente uma solução do tipo
(e) Determine a corrente no circuito
(f) Qual condição para a corrente nos circuitos oscilar?
Passo 1
Temos dois solenoides coaxiais de mesmo raio
e comprimento
e
. O solenoide 1 está em série com um resistor
e sua corrente inicial é zero. O solenoide 2 está em série com um capacitor
e sua carga inicial é
.
Conteúdo: autoindutância, indutância mútua, leis de Kirchhoff, equações diferenciais lineares, solução de segunda ordem e regime de oscilação.)
Conteúdo: autoindutância, indutância mútua, leis de Kirchhoff, equações diferenciais lineares, solução de segunda ordem e regime de oscilação.)
Passo 2
Para solenoides ideais de área da seção transversal
e comprimento
vale
onde o fluxo por espira é
com
. Logo o número total de espiras é
e
Assim,
e a indutância mútua, pelo mesmo raciocínio com densidade
num circuito e
no outro, é
Passo 3
Aplicando Kirchhoff em cada malha:
– Malha 1 (solenoide resistor):
– Malha 1 (solenoide
– Malha 2 (solenoide
capacitor), usando
:
Passo 4
Para obter uma única equação em
, diferenciamos a segunda equação em relação a
e usamos a primeira para eliminar
. O resultado é a equação desacoplada
Passo 5
A equação característica é
com raízes
Logo a solução geral é
Condições iniciais:
e, de
e
,
vem
vem
Com
e
, obtém-se
Passo 6
Para
usamos
É uma EDO de 1ª ordem com fator integrante
. A solução, com
, é simples:
Passo 7
Oscilação (raízes complexas) ocorre se o discriminante for negativo:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
com
(e)
(f) Oscilações se