Considere dois solenoides coaxiais ambos de raio r com densidades de espiras n_{1} e n_{2}. Os solenoides estão conectados a diferentes circuitos. O primeiro solenoide, de densidade n_{1}, está conectado a um resistor de resistência R. Inicialmente a corrente que passa pelo resistor é zero. O segundo solenoide, de densidade n_{2}, está conectado a um capacitor de capacitância C, que inicialmente possui uma carga Q.
(a) Determine as autoindutâncias de cada solenoide e a indutancia mútua entre ambos. (0,5 p)
(b) Usando as leis de Kirchhoff, determine as duas equações diferenciais acopladas que representam o sistema. (1,0 \mathrm{p})
(c) Encontre a equação que desacopla as correntes dos dois circuitos. (Dica: Isole o termo de corrente do círcuito dois da equação do circuito um e, em seguida, substitua-o na equação do segundo circuito). (0,5p)
(d) Resolva a equação encontrada no item anterior, determinando a corrente no circuito 2. (Dica: Tente uma solução do tipo A e^{k t}, não se esqueça que temos duas possíveis soluçōes.) (1,0 p)
(e) Determine a corrente no circuito 1 .(1,0 \mathrm{p})
(f) Qual condição para a corrente nos circuitos oscilar? (0,5 p)

Passo 1

Temos dois solenoides coaxiais de mesmo raio r e comprimento \ell$, com densidades de espiras \(n_{1} e n_{2}. O solenoide 1 está em série com um resistor R e sua corrente inicial é zero. O solenoide 2 está em série com um capacitor C e sua carga inicial é Q.
Conteúdo: autoindutância, indutância mútua, leis de Kirchhoff, equações diferenciais lineares, solução de segunda ordem e regime de oscilação.)

Passo 2

Para solenoides ideais de área da seção transversal A=\pi r^{2} e comprimento \ell vale
L = \frac{\Phi}{I}
onde o fluxo por espira é \Phi_{1}=B\,A com B=\mu_{0}nI. Logo o número total de espiras é N=n\ell e
L = \mu_{0}\,\frac{N^{2}A}{\ell} = \mu_{0}\,n^{2}A\,\ell.
Assim,
L_{1} = \mu_{0}\,n_{1}^{2}\,\pi r^{2}\,\ell, \quad L_{2} = \mu_{0}\,n_{2}^{2}\,\pi r^{2}\,\ell,
e a indutância mútua, pelo mesmo raciocínio com densidade n_{1} num circuito e n_{2} no outro, é
M = \mu_{0}\,n_{1}n_{2}\,\pi r^{2}\,\ell.

Passo 3

Aplicando Kirchhoff em cada malha:
– Malha 1 (solenoide 1+ resistor):
L_{1}\,\frac{di_{1}}{dt} \;+\; R\,i_{1} \;+\; M\,\frac{di_{2}}{dt} \;=\;0.
– Malha 2 (solenoide 2+ capacitor), usando q_{2}=\int i_{2}\,dt:
L_{2}\,\frac{di_{2}}{dt} \;+\; M\,\frac{di_{1}}{dt} \;+\;\frac{q_{2}}{C} \;=\;0, \quad i_{2}=\frac{dq_{2}}{dt}.

Passo 4

Para obter uma única equação em i_{2}, diferenciamos a segunda equação em relação a t e usamos a primeira para eliminar \ddot i_{1}. O resultado é a equação desacoplada
\bigl(L_{1}L_{2}-M^{2}\bigr)\,\frac{d^{2}i_{2}}{dt^{2}} \;+\; R\,L_{2}\,\frac{di_{2}}{dt} \;+\; \frac{L_{1}}{C}\,i_{2} \;=\;0.

Passo 5

A equação característica é
\bigl(L_{1}L_{2}-M^{2}\bigr)\,k^{2} \;+\;R\,L_{2}\,k\;+\;\frac{L_{1}}{C}=0,
com raízes
k_{1,2} = \frac{-R\,L_{2} \pm \sqrt{R^{2}L_{2}^{2} -4\,(L_{1}L_{2}-M^{2})\,(L_{1}/C)} } {2\,(L_{1}L_{2}-M^{2})}.
Logo a solução geral é
i_{2}(t) = A\,e^{k_{1}t}+B\,e^{k_{2}t}.
Condições iniciais: i_{2}(0)=0 e, de L_{2}\dot i_{2}(0)+M\dot i_{1}(0)+Q/C=0 e L_{1}\dot i_{1}(0)+M\dot i_{2}(0)=0,
vem
\dot i_{2}(0) =-\,\frac{Q}{C\,\bigl(L_{2}-\tfrac{M^{2}}{L_{1}}\bigr)} =-\,\frac{L_{1}\,Q}{C\,(L_{1}L_{2}-M^{2})}.
Com A+B=0 e A\,k_{1}+B\,k_{2}=\dot i_{2}(0), obtém-se
i_{2}(t) = \frac{\dot i_{2}(0)}{k_{1}-k_{2}} \bigl(e^{k_{1}t}-e^{k_{2}t}\bigr).

Passo 6

Para i_{1}(t) usamos
L_{1}\dot i_{1}+R\,i_{1}=-M\,\dot i_{2}.
É uma EDO de 1ª ordem com fator integrante e^{Rt/L_{1}}. A solução, com i_{1}(0)=0, é simples:
i_{1}(t)=-\frac{M}{L_{1}}\;i_{2}(t).

Passo 7

Oscilação (raízes complexas) ocorre se o discriminante for negativo:
R^{2}L_{2}^{2} <4\,(L_{1}L_{2}-M^{2})\,\frac{L_{1}}{C}.

Resposta

(a)
L_{1}=\mu_{0}\,n_{1}^{2}\,\pi r^{2}\ell,\quad L_{2}=\mu_{0}\,n_{2}^{2}\,\pi r^{2}\ell,\quad M=\mu_{0}\,n_{1}n_{2}\,\pi r^{2}\ell.
(b)
L_{1}\,\dot i_{1}+R\,i_{1}+M\,\dot i_{2}=0, \quad L_{2}\,\dot i_{2}+M\,\dot i_{1}+\frac{q_{2}}{C}=0, \quad \dot q_{2}=i_{2}.
(c)
(L_{1}L_{2}-M^{2})\,\ddot i_{2}+R\,L_{2}\,\dot i_{2}+\frac{L_{1}}{C}\,i_{2}=0.
(d)
i_{2}(t) =\frac{\dot i_{2}(0)}{k_{1}-k_{2}} \bigl(e^{k_{1}t}-e^{k_{2}t}\bigr),
com
k_{1,2} =\frac{-R\,L_{2}\pm\sqrt{R^{2}L_{2}^{2}-4(L_{1}L_{2}-M^{2})(L_{1}/C)}} {2(L_{1}L_{2}-M^{2})}, \quad \dot i_{2}(0)=-\frac{L_{1}Q}{C\,(L_{1}L_{2}-M^{2})}.
(e)
i_{1}(t)=-\frac{M}{L_{1}}\,i_{2}(t).
(f) Oscilações se
R^{2}L_{2}^{2}<4\,(L_{1}L_{2}-M^{2})\,\frac{L_{1}}{C}.

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