Exercício 10. Uma equipe de manutenção de uma companhia aérea está investigando o número de falhas elétricas que ocorrem em uma frota de aeronaves durante um mês de operação. Com base em dados históricos, a equipe observou que, em média, ocorrem 2 falhas elétricas em toda a frota a cada mês.
Responda às seguintes perguntas:
  1. Qual é a melhor distribuição de probabilidade para esse problema?
  2. Qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 3 falhas elétricas em toda a frota durante um mês?
  3. Qual é a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 falha elétrica durante um mês?
  4. Qual é o número esperado de falhas elétricas em toda a frota durante um mês?
  5. Qual é a variância do número de falhas elétricas em toda a frota durante um mês?

Passo 1

O enunciado descreve o número de falhas elétricas em um mês na frota inteira, com média histórica de 2 falhas por mês. O conteúdo é distribuição de Poisson, que modela o número de eventos raros independentes em intervalos fixos de tempo, com parâmetro \lambda igual à média.

Passo 2

Como as falhas são eventos raros e independentes em um intervalo mensal e temos média \lambda=2, dizemos que a variável aleatória X, número de falhas em um mês, segue
X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda=2).

Passo 3

Para calcular a probabilidade de exatamente 3 falhas usamos a fórmula
P(X=3)=\frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}.
Substituindo \lambda=2,
P(X=3)=\frac{2^3 e^{-2}}{3!}=\frac{8\,e^{-2}}{6}=\frac{4}{3}\,e^{-2}.

Passo 4

A probabilidade de ocorrer pelo menos 1 falha é
P(X\ge1)=1-P(X=0).
Como
P(X=0)=\frac{2^0 e^{-2}}{0!}=e^{-2},
temos
P(X\ge1)=1-e^{-2}.

Passo 5

Para uma Poisson \lambda, o valor esperado é
E[X]=\lambda,
logo
E[X]=2.

Passo 6

Na Poisson \lambda, a variância é
\mathrm{Var}(X)=\lambda,
portanto
\mathrm{Var}(X)=2.

Resposta

  1. A melhor distribuição é \mathrm{Poisson}(\lambda=2).
  2. P(X=3)=\frac{4}{3}\,e^{-2}.
  3. P(X\ge1)=1-e^{-2}.
  4. E[X]=2.
  5. \mathrm{Var}(X)=2.

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