Considere que \dot{y} representa a derivada temporal da função y, \dot{y} \equiv \frac{d y}{d t}. Determine \dot{y} para os casos apresentados:
Seja y(t)=4 \cos (\omega t)^{2}, determine \dot{y} para t=\pi / 4;

Passo 1

O enunciado pede a derivada temporal de
y(t)=4\cos^2(\omega t)
e, em seguida, a avaliação de \dot y no instante t=\pi/4. O conteúdo usado será a regra da cadeia e a derivada de \cos(x).

Passo 2

Calculamos
\dot y(t) = \frac{d}{dt}\bigl(4\cos^2(\omega t)\bigr) =4\cdot 2\cos(\omega t)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\cos(\omega t)\bigr).
Como
\frac{d}{dt}\bigl(\cos(\omega t)\bigr) =-\sin(\omega t)\,\omega,
segue
\dot y(t) =8\cos(\omega t)\bigl(-\sin(\omega t)\bigr)\omega =-8\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t) =-4\omega\sin\bigl(2\omega t\bigr).

Passo 3

Agora basta avaliar em t=\pi/4:
\dot y\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-4\omega\sin\Bigl(2\omega\cdot\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =-4\omega\sin\Bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\Bigr).

Resposta

\dot y\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =-4\omega\sin\Bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\Bigr).

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