Considere duas cascas esféricas finas, concêntricas, condutoras. A casca interna tem raio A e carga Q. A casca externa tem raio B=2 A e carga -Q. Explique como deve ser as linhas de campo elétrico nas regiões dentro da esfera interna, entre as esferas, e fora das esferas. Determine o potencial elétrico para as diferentes regiões:
\quad \mathrm{r}>\mathrm{B}

Passo 1

O enunciado dá duas cascas esféricas finas, concêntricas e condutoras. A casca interna tem raio A e carga Q. A casca externa tem raio B=2A e carga -Q. O que se pede:
  • Descrever como são as linhas do campo elétrico nas três regiões: dentro da esfera interna ( r<A), entre as esferas ( A<r<B) e fora das esferas ( r>B).
  • Determinar o potencial elétrico nas diferentes regiões (o enunciado destaca \mathrm{r}>\mathrm{B}, mas vamos achar o potencial em todas as regiões para ficar completo).
Informações relevantes dadas:
  • Duas cascas condutoras, concêntricas, raios A e B=2A.
  • Cargas: casca interna Q; casca externa -Q.
  • Simetria esférica (tudo depende só de r).
  • Podemos tomar o potencial de referência V(\infty)=0 (padrão, a não ser que peçam outro).

Passo 2

Conceitos-chave que vou usar (explicados de forma prática):
  1. Propriedades de condutor em equilíbrio eletrostático:
    • O campo elétrico no interior do material condutor é nulo: \mathbf{E}=0 dentro do condutor.
    • Qualquer casca esférica condutora em equilíbrio é superfície equipotencial (o potencial é constante em toda a espessura da casca).
    • Carga em um condutor em equilíbrio reside nas superfícies externas do condutor (no caso de casca fina, a carga fica na superfície).
  2. Lei de Gauss (usada com simetria esférica):
    • Para uma distribuição esfericamente simétrica, o campo na região radial a uma distância r de um centro é dado por considerar uma esfera gaussiana de raio r:
    \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
    • Como \mathbf{E} é radial e uniforme sobre a superfície, \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^{2}.
    • Assim, se a carga total dentro da esfera de raio r for Q_{\text{int}},
    E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}}{r^{2}}.
    • Se Q_{\text{int}}=0 então E(r)=0.
Vou aplicar esses princípios passo a passo nas três regiões.

Passo 3

Campo elétrico na região r<A (dentro da casca interna):
  • Escolha uma esfera gaussiana de raio r<A. Essa esfera não engloba a casca interna (a casca está em r=A), então a carga total dentro da gaussiana é Q_{\text{int}}=0.
  • Pela Lei de Gauss, \;E(r)=0.
  • Interpretação física: dentro da cavidade interior da casca (isto é, no interior do metal o campo é zero) não existem linhas de campo.
Expressão:
E(r)=0\qquad\text{para }r<A.

Passo 4

Campo elétrico na região A<r<B (entre as cascas):
  • Escolha uma esfera gaussiana de raio r tal que A<r<B. Essa esfera engloba a casca interna com carga Q, e ainda não engloba a casca externa (que está em r=B).
  • Logo Q_{\text{int}}=Q. Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}}.
  • Direção: radial para fora se Q>0, radial para dentro se Q<0. Aqui Q dado é positivo, então as linhas são radiais para fora, saindo da casca interna e terminando na casca externa.
Expressão:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}}\quad\text{para }A<r<B.

Passo 5

Campo elétrico na região r>B (fora das duas cascas):
  • A esfera gaussiana de raio r>B engloba ambas as cascas; a carga total dentro é Q_{\text{total}}=Q+(-Q)=0.
  • Pela Lei de Gauss, E(r)=0 para r>B.
  • Interpretação física: as linhas de campo que saem da casca interna terminam na casca externa; não há linhas que se estendam ao infinito porque o total é zero.
Expressão:
E(r)=0\qquad\text{para }r>B.

Passo 6

Resumo qualitativo das linhas de campo (linguagem simples e visual):
  • Região r<A: não há linhas de campo — o campo é zero. Pense como se o espaço dentro da casca interna fosse “calmo”.
  • Região A<r<B: linhas radiais saindo da casca interna (já que Q>0) e terminando na superfície interna da casca externa, porque a casca externa tem carga negativa induzida que atrai essas linhas.
  • Região r>B: nenhuma linha segue para infinito; fora de B o campo é zero — as linhas começam na casca interna e terminam na casca externa. Visualmente: um conjunto de linhas radiais entre r=A e r=B, e nada fora.
Observação física adicional (útil para prova): a casca externa, tendo carga total -Q, terá carga -Q distribuída na sua superfície interna (a que fica voltada para o centro) e carga zero na sua superfície externa. Isso garante campo nulo dentro do metal da casca externa e campo nulo fora de r>B.

Passo 7

Cálculo do potencial elétrico — escolha de referência e técnica:
  • Vou tomar V(\infty)=0.
  • Potencial em um ponto r é dado por
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
  • Como o campo é radial e por partes é zero, podemos integrar por trechos e usar continuidade do potencial nas superfícies condutoras (potencial é contínuo).

Passo 8

Potencial para r>B:
  • Como E(r)=0 para r>B, a integral de \infty até qualquer ponto r>B dá zero, e tomando V(\infty)=0 obtemos
V(r)=0\qquad\text{para }r>B.

Passo 9

Potencial para A<r<B:
  • Para um ponto r nessa faixa, podemos escrever
V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr' =-\int_{\infty}^{B}E(r')\,dr' - \int_{B}^{r}E(r')\,dr'.
  • O primeiro termo é zero porque E=0 para r'>B. Para B até r usamos E(r')=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r'^{2}}.
  • Então
V(r) = -\int_{B}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr'.
  • Calcule a integral:
V(r) = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r'}\right]_{B}^{r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{B}\right).
  • Portanto:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{B}\right)\qquad\text{para }A<r<B.

Passo 10

Potencial para r<A (dentro da casca interna):
  • Dentro do condutor (e no interior da casca até o centro) o campo é zero, logo o potencial é constante nessa região e igual ao valor na superfície r=A.
  • Usando a fórmula do passo anterior com r=A:
V(r)=V(A)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\!\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\qquad\text{para }r<A.
  • Ou seja, para todo r<A o potencial é essa constante.

Passo 11

Verificações rápidas (coisas que aparecem em prova e que gosto de checar):
  • Continuidade do potencial nas superfícies r=A e r=B: ao aplicar as fórmulas, em r=B a expressão para A<r<B V(B)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\big(\dfrac{1}{B}-\dfrac{1}{B}\big)=0, que bate com V(r>B)=0. Em r=A a fórmula dá o valor constante interno mostrado acima. Tudo coerente.
  • Potencial do sistema decai para zero no infinito, consistente com carga total nula.

Resposta

Linhas de campo: Para r<A: não há linhas de campo ( E=0); para A<r<B: linhas radiais saindo da casca interna e terminando na casca externa ( E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}}); para r>B: não há linhas de campo ( E=0).\n
Potencial: \displaystyle V(r)=0 para r>B. \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{B}\right) para A<r<B. \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\!\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) para r<A.

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