Considere duas cascas esféricas finas, concêntricas, condutoras. A casca interna tem raio
e carga
. A casca externa tem raio
e carga
. Explique como deve ser as linhas de campo elétrico nas regiões dentro da esfera interna, entre as esferas, e fora das esferas. Determine o potencial elétrico para as diferentes regiões:
Passo 1
O enunciado dá duas cascas esféricas finas, concêntricas e condutoras. A casca interna tem raio
e carga
. A casca externa tem raio
e carga
. O que se pede:
- Descrever como são as linhas do campo elétrico nas três regiões: dentro da esfera interna (
), entre as esferas ( ) e fora das esferas ( ). - Determinar o potencial elétrico nas diferentes regiões (o enunciado destaca
, mas vamos achar o potencial em todas as regiões para ficar completo).
Informações relevantes dadas:
- Duas cascas condutoras, concêntricas, raios
e . - Cargas: casca interna
; casca externa . - Simetria esférica (tudo depende só de
). - Podemos tomar o potencial de referência
(padrão, a não ser que peçam outro).
Passo 2
Conceitos-chave que vou usar (explicados de forma prática):
- Propriedades de condutor em equilíbrio eletrostático:
- O campo elétrico no interior do material condutor é nulo:
dentro do condutor. - Qualquer casca esférica condutora em equilíbrio é superfície equipotencial (o potencial é constante em toda a espessura da casca).
- Carga em um condutor em equilíbrio reside nas superfícies externas do condutor (no caso de casca fina, a carga fica na superfície).
- O campo elétrico no interior do material condutor é nulo:
- Lei de Gauss (usada com simetria esférica):
- Para uma distribuição esfericamente simétrica, o campo na região radial a uma distância
de um centro é dado por considerar uma esfera gaussiana de raio :
- Como
é radial e uniforme sobre a superfície, . - Assim, se a carga total dentro da esfera de raio
for ,
- Se
então .
- Para uma distribuição esfericamente simétrica, o campo na região radial a uma distância
Vou aplicar esses princípios passo a passo nas três regiões.
Passo 3
Campo elétrico na região
(dentro da casca interna):
- Escolha uma esfera gaussiana de raio
. Essa esfera não engloba a casca interna (a casca está em ), então a carga total dentro da gaussiana é . - Pela Lei de Gauss,
. - Interpretação física: dentro da cavidade interior da casca (isto é, no interior do metal o campo é zero) não existem linhas de campo.
Expressão:
Passo 4
Campo elétrico na região
(entre as cascas):
- Escolha uma esfera gaussiana de raio
tal que . Essa esfera engloba a casca interna com carga , e ainda não engloba a casca externa (que está em ). - Logo
. Aplicando Gauss:
- Direção: radial para fora se
, radial para dentro se . Aqui dado é positivo, então as linhas são radiais para fora, saindo da casca interna e terminando na casca externa.
Expressão:
Passo 5
Campo elétrico na região
(fora das duas cascas):
- A esfera gaussiana de raio
engloba ambas as cascas; a carga total dentro é . - Pela Lei de Gauss,
para . - Interpretação física: as linhas de campo que saem da casca interna terminam na casca externa; não há linhas que se estendam ao infinito porque o total é zero.
Expressão:
Passo 6
Resumo qualitativo das linhas de campo (linguagem simples e visual):
- Região
: não há linhas de campo — o campo é zero. Pense como se o espaço dentro da casca interna fosse “calmo”. - Região
: linhas radiais saindo da casca interna (já que ) e terminando na superfície interna da casca externa, porque a casca externa tem carga negativa induzida que atrai essas linhas. - Região
: nenhuma linha segue para infinito; fora de o campo é zero — as linhas começam na casca interna e terminam na casca externa. Visualmente: um conjunto de linhas radiais entre e , e nada fora.
Observação física adicional (útil para prova): a casca externa, tendo carga total
, terá carga
distribuída na sua superfície interna (a que fica voltada para o centro) e carga zero na sua superfície externa. Isso garante campo nulo dentro do metal da casca externa e campo nulo fora de
.
Passo 7
Cálculo do potencial elétrico — escolha de referência e técnica:
- Vou tomar
. - Potencial em um ponto
é dado por
- Como o campo é radial e por partes é zero, podemos integrar por trechos e usar continuidade do potencial nas superfícies condutoras (potencial é contínuo).
Passo 8
Potencial para
:
- Como
para , a integral de até qualquer ponto dá zero, e tomando obtemos
Passo 9
Potencial para
:
- Para um ponto
nessa faixa, podemos escrever
- O primeiro termo é zero porque
para . Para até usamos . - Então
- Calcule a integral:
- Portanto:
Passo 10
Potencial para
(dentro da casca interna):
- Dentro do condutor (e no interior da casca até o centro) o campo é zero, logo o potencial é constante nessa região e igual ao valor na superfície
. - Usando a fórmula do passo anterior com
:
- Ou seja, para todo
o potencial é essa constante.
Passo 11
Verificações rápidas (coisas que aparecem em prova e que gosto de checar):
- Continuidade do potencial nas superfícies
e : ao aplicar as fórmulas, em a expressão para dá , que bate com . Em a fórmula dá o valor constante interno mostrado acima. Tudo coerente. - Potencial do sistema decai para zero no infinito, consistente com carga total nula.
Resposta
Linhas de campo: Para
: não há linhas de campo (
); para
: linhas radiais saindo da casca interna e terminando na casca externa (
); para
: não há linhas de campo (
).\n
Potencial: para
.
para
.
para
.
Potencial: