Considere duas fontes de mesma intensidade sigma localizadas no plano complexo nas posições (ia) e (-ia) em um escoamento uniforme de intensidade U0. Calcule o potencial complexo e o campo de velocidade e selecione as alternativas corretas.
Escolha uma ou mais:
square a. Só existe estagnação se sigmaU0>2 pi a.
square b. O ponto de estagnação está localizado no eixo vertical no ponto -sigma2 U0 pi pm raiz(-sigma2 U0 pi)^2-a^2
square c. O potencial complexo é dado por F=U0 Y+sigma2 pi ln [Y^2+a^2]d. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto -sigma2 U0 pi-ae. O potencial complexo é dado por F=U0 Y+sigma2 pi ln [Y+a^2]f. Se sigmaU0<2 pi a não existe ponto de estagnação.g. Se sigmaU0>2 pi a não existe ponto de estagnação.h. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto -sigma2 U0 pi pm raiz(-sigma2 U0 pi)^2-a^2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A gente tem duas “fontes” de intensidade σ localizadas nos pontos z= i a e z= –i a no plano complexo, tudo isso imerso num escoamento uniforme de velocidade U₀. A tarefa é achar o potencial complexo F(z), derivar a velocidade (que é dF/dz) e descobrir onde aparecem pontos de estagnação e em que condição eles existem. O conteúdo é teoria de potencial de escoamentos (superposição de fontes e fluxo uniforme) e resolução de uma equação de segundo grau para achar os pontos de estagnação.

Passo 2

Primeiro a gente monta o potencial complexo por superposição:
  1. Potencial de escoamento uniforme: F₁(z)=U₀ z.
  2. Potencial de cada fonte em z₀: (σ/2π) ln(z–z₀).
Somando as duas fontes em ±i a e o uniforme, dá

ou, agrupando os logaritmos,

Passo 3

Agora o campo de velocidade complexo é

Em forma simplificada:

Passo 4

Ponto de estagnação é onde w(z)=0. Então:
\
Multiplicando tudo por (z²+a²):
\
Isso é uma equação quadrática:
\
A fórmula de Bhaskara dá

Passo 5

Para essas raízes serem reais (ou seja, existir ponto de estagnação sobre o eixo real), o discriminante deve ser ≥0:
.
Se for estritamente menor, não temos ponto de estagnação; se igual, sobra um ponto (contato duplo); se maior, há dois pontos distintos.

Passo 6

Note que z é real nessas soluções, então os pontos de estagnação ficam no eixo horizontal (eixo x do plano complexo), não no vertical.

Resposta

As alternativas corretas são:
a. Só existe estagnação se .
f. Se não existe ponto de estagnação.
h. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto
.

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