Considere duas fontes de mesma intensidade
localizadas no plano complexo nas posições (ia) e (-ia) em um escoamento uniforme de intensidade
. Calcule o potencial complexo e o campo de velocidade e selecione as alternativas corretas.
Escolha uma ou mais:
a. Só existe estagnação se
.
b. O ponto de estagnação está localizado no eixo vertical no ponto
c. O potencial complexo é dado por
d. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto
e. O potencial complexo é dado por
f. Se
não existe ponto de estagnação.g. Se
não existe ponto de estagnação.h. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A gente tem duas “fontes” de intensidade σ localizadas nos pontos z= i a e z= –i a no plano complexo, tudo isso imerso num escoamento uniforme de velocidade U₀. A tarefa é achar o potencial complexo F(z), derivar a velocidade (que é dF/dz) e descobrir onde aparecem pontos de estagnação e em que condição eles existem. O conteúdo é teoria de potencial de escoamentos (superposição de fontes e fluxo uniforme) e resolução de uma equação de segundo grau para achar os pontos de estagnação.
Passo 2
Primeiro a gente monta o potencial complexo por superposição:
- Potencial de escoamento uniforme: F₁(z)=U₀ z.
- Potencial de cada fonte em z₀: (σ/2π) ln(z–z₀).
Somando as duas fontes em ±i a e o uniforme, dá
ou, agrupando os logaritmos,
ou, agrupando os logaritmos,
Passo 3
Agora o campo de velocidade complexo é
Em forma simplificada:
Em forma simplificada:
Passo 4
Ponto de estagnação é onde w(z)=0. Então:
\
Multiplicando tudo por (z²+a²):
\
Isso é uma equação quadrática:
\
A fórmula de Bhaskara dá
Multiplicando tudo por (z²+a²):
Isso é uma equação quadrática:
A fórmula de Bhaskara dá
Passo 5
Para essas raízes serem reais (ou seja, existir ponto de estagnação sobre o eixo real), o discriminante deve ser ≥0:
.
Se for estritamente menor, não temos ponto de estagnação; se igual, sobra um ponto (contato duplo); se maior, há dois pontos distintos.
Se for estritamente menor, não temos ponto de estagnação; se igual, sobra um ponto (contato duplo); se maior, há dois pontos distintos.
Passo 6
Note que z é real nessas soluções, então os pontos de estagnação ficam no eixo horizontal (eixo x do plano complexo), não no vertical.
Resposta
As alternativas corretas são:
a. Só existe estagnação se .
f. Se não existe ponto de estagnação.
h. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto
.
a. Só existe estagnação se
f. Se
h. O ponto de estagnação está localizado no eixo horizontal no ponto