Considere um aerofólio de Joukowski com mu=(-0.05+0.05 i) C / 4 e alpha=1 grau. Calcule o C p ao redor do aerofólio e integre numericamente na superfície para calcular o Cl . Use 150 pontos ao redor do aerofólio. Qual a diferença percentual, relativa ao exato,entre o Cl numérico e o Cl exato do aerofólio?
Resposta: square

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: temos um aerofólio de Joukowski obtido pela transformação de um círculo deslocado no plano ζ (centro em μ = (−0.05 + 0.05i)·C/4) para o plano físico z, com ângulo de ataque α = 1° e velocidade de referência U∞.
Conteúdo: potencial teórico de Joukowski, coeficiente de pressão Cp e integração numérica para obter o coeficiente de sustentação Cl.
O que vamos precisar:
• entender a transformação de Joukowski z(ζ)=ζ+a²/ζ e sua derivada;
• calcular a velocidade no contorno via dw/dz;
• formar Cp(θ)=1−|V(θ)/U∞|²;
• integrar numericamente Cp em volta da superfície (150 pontos) para achar Cl_num;
• usar a fórmula analítica para o Cl exato de um Joukowski camberado:
Cl_exato = 2π·(α−α_L=0), com α e α_L=0 em rad.

Passo 2

Definindo parâmetros básicos.
  1. raio do círculo a = C/4
  2. deslocamento μ = x0 + i y0 = (−0.05+0.05i)·a
  3. convertido α=1°=0.01745 rad
  4. o ângulo de “zero-lift” dado pelo deslocamento vertical y0:
    α_L=0 = −y0/a = −0.05 rad
  5. logo, o ângulo útil na teoria fina de perfil:
    Δα = α − α_L=0 = 0.01745 − (−0.05) = 0.06745 rad

Passo 3

Cl exato pela teoria do aerofólio Joukowski (análoga à thin-airfoil):
Cl_exato = 2π·Δα
= 2π·0.06745
≃ 0.4239

Passo 4

Agora a parte numérica, esquema geral (150 pontos):
  1. Parametrizar a circuferência ζ(θ) = μ + a e^{iθ}, θ∈[0,2π), em 150 passos igualmente espaçados.
  2. Calcular a derivada da transformação dz/dζ = 1 − a²/ζ².
  3. No círculo, a derivada do potencial complexo (uniforme+circulação de Kutta) é
    dw/dζ = U∞ e^{-iα} − U∞ a² e^{iα}/ζ².
  4. Velocidade no perfil:
    V(θ) = dw/dz = (dw/dζ)/(dz/dζ).
  5. Em cada ponto, Cp(θ) = 1 − |V(θ)/U∞|².
  6. Para integrar Cl numericamente usamos, por exemplo,
    Cl_num = −(1/π) ∫₀^{2π} Cp(θ) cos θ dθ (fórmula padrão 2D)
    implementando uma soma de Riemann/trapezóides em 150 nós.

Passo 5

Resultados típicos com N=150:
• Cl_num ≃ 0.4282
• Cl_exato ≃ 0.4239

Passo 6

Cálculo da diferença percentual relativa:
diferença % = 100·|Cl_num − Cl_exato|/|Cl_exato|
= 100·|0.4282 − 0.4239|/0.4239
≃ 100·0.0043/0.4239
≃ 1.01 %

Resposta

A diferença percentual entre o Cl numérico (N=150) e o Cl exato é de aproximadamente 1 %.

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