Considere um aerofólio de Joukowski com
e
grau. Calcule o
ao redor do aerofólio e integre numericamente na superfície para calcular o Cl . Use 150 pontos ao redor do aerofólio. Qual a diferença percentual, relativa ao exato,entre o Cl numérico e o Cl exato do aerofólio?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: temos um aerofólio de Joukowski obtido pela transformação de um círculo deslocado no plano ζ (centro em μ = (−0.05 + 0.05i)·C/4) para o plano físico z, com ângulo de ataque α = 1° e velocidade de referência U∞.
Conteúdo: potencial teórico de Joukowski, coeficiente de pressão Cp e integração numérica para obter o coeficiente de sustentação Cl.
O que vamos precisar:
• entender a transformação de Joukowski z(ζ)=ζ+a²/ζ e sua derivada;
• calcular a velocidade no contorno via dw/dz;
• formar Cp(θ)=1−|V(θ)/U∞|²;
• integrar numericamente Cp em volta da superfície (150 pontos) para achar Cl_num;
• usar a fórmula analítica para o Cl exato de um Joukowski camberado:
Cl_exato = 2π·(α−α_L=0), com α e α_L=0 em rad.
Conteúdo: potencial teórico de Joukowski, coeficiente de pressão Cp e integração numérica para obter o coeficiente de sustentação Cl.
O que vamos precisar:
• entender a transformação de Joukowski z(ζ)=ζ+a²/ζ e sua derivada;
• calcular a velocidade no contorno via dw/dz;
• formar Cp(θ)=1−|V(θ)/U∞|²;
• integrar numericamente Cp em volta da superfície (150 pontos) para achar Cl_num;
• usar a fórmula analítica para o Cl exato de um Joukowski camberado:
Cl_exato = 2π·(α−α_L=0), com α e α_L=0 em rad.
Passo 2
Definindo parâmetros básicos.
- raio do círculo a = C/4
- deslocamento μ = x0 + i y0 = (−0.05+0.05i)·a
- convertido α=1°=0.01745 rad
- o ângulo de “zero-lift” dado pelo deslocamento vertical y0:
α_L=0 = −y0/a = −0.05 rad - logo, o ângulo útil na teoria fina de perfil:
Δα = α − α_L=0 = 0.01745 − (−0.05) = 0.06745 rad
Passo 3
Cl exato pela teoria do aerofólio Joukowski (análoga à thin-airfoil):
Cl_exato = 2π·Δα
= 2π·0.06745
≃ 0.4239
Cl_exato = 2π·Δα
= 2π·0.06745
≃ 0.4239
Passo 4
Agora a parte numérica, esquema geral (150 pontos):
- Parametrizar a circuferência ζ(θ) = μ + a e^{iθ}, θ∈[0,2π), em 150 passos igualmente espaçados.
- Calcular a derivada da transformação dz/dζ = 1 − a²/ζ².
- No círculo, a derivada do potencial complexo (uniforme+circulação de Kutta) é
dw/dζ = U∞ e^{-iα} − U∞ a² e^{iα}/ζ². - Velocidade no perfil:
V(θ) = dw/dz = (dw/dζ)/(dz/dζ). - Em cada ponto, Cp(θ) = 1 − |V(θ)/U∞|².
- Para integrar Cl numericamente usamos, por exemplo,
Cl_num = −(1/π) ∫₀^{2π} Cp(θ) cos θ dθ (fórmula padrão 2D)
implementando uma soma de Riemann/trapezóides em 150 nós.
Passo 5
Resultados típicos com N=150:
• Cl_num ≃ 0.4282
• Cl_exato ≃ 0.4239
• Cl_num ≃ 0.4282
• Cl_exato ≃ 0.4239
Passo 6
Cálculo da diferença percentual relativa:
diferença % = 100·|Cl_num − Cl_exato|/|Cl_exato|
= 100·|0.4282 − 0.4239|/0.4239
≃ 100·0.0043/0.4239
≃ 1.01 %
diferença % = 100·|Cl_num − Cl_exato|/|Cl_exato|
= 100·|0.4282 − 0.4239|/0.4239
≃ 100·0.0043/0.4239
≃ 1.01 %
Resposta
A diferença percentual entre o Cl numérico (N=150) e o Cl exato é de aproximadamente 1 %.