Considere as duas matrizes
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll} 1 & i \\\ i & 1 \end{array}\right), \quad B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} 1+i & 1-i \\\\ 1-i & 1+i \end{array}\right) .
Estas matrizes são Hermitianas?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para verificar se cada uma delas é Hermitiana. As matrizes fornecidas são:
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix}
B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}
O que se pede: decidir se A é Hermitiana e se B é Hermitiana.]

Passo 2

Definição e ideia para a prova (passo-a-passo didático). Uma matriz M é Hermitiana se e somente se vale
M^\dagger = M,
onde M^\dagger é a conjugada transposta de M. Para calcular M^\dagger faz-se dois passos: (i) toma-se a conjugada complexa de cada entrada (substituir i por -i); (ii) transpõe-se a matriz (troca linhas por colunas). Em termos de entradas, se M=(m_{ij}) então
(M^\dagger)_{ij}=\overline{m_{ji}}.
Logo, para verificar Hermiticidade basta calcular M^\dagger e comparar entrada a entrada com M.

Passo 3

Calcular A^\dagger. Começo pegando a conjugada de cada entrada de A. Como \overline{i}=-i e \overline{1}=1, a conjugada de A é
\overline{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.
Agora transpõe-se:
A^\dagger=\left(\overline{A}\right)^T=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.
Comparando com A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix}, observa-se que as entradas fora da diagonal em A^\dagger são -i enquanto em A são i. Portanto
A^\dagger \neq A,
ou seja, A não é Hermitiana.]

Passo 4

Calcular B^\dagger. Primeiro a conjugada de cada entrada: \overline{1+i}=1-i e \overline{1-i}=1+i. Assim
\overline{B}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1-i & 1+i\\[4pt] 1+i & 1-i\end{pmatrix}.
Transpondo:
B^\dagger=\left(\overline{B}\right)^T=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1-i & 1+i\\[4pt] 1+i & 1-i\end{pmatrix}.
Comparando com B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}, as entradas correspondentes não coincidem (por exemplo, posição (1,1) em B é 1+i enquanto em B^\dagger é 1-i). Portanto
B^\dagger \neq B,
ou seja, B não é Hermitiana.]

Passo 5

Resumo intuitivo curto para fixar: em ambas as matrizes os elementos fora da diagonal mudam de sinal ao tomar a conjugada (pois envolvem i), e como essas matrizes são simétricas (iguais à sua transposta), a conjugada transposta troca i por -i nas posições off-diagonais, impedindo a igualdade com a matriz original. Logo nenhuma das duas é Hermitiana — não precisa decorar, basta lembrar do teste M^\dagger = M e comparar entradas.

Resposta

A: Não, A^\dagger \neq A.
B: Não, B^\dagger \neq B.

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