Considere as duas matrizes
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll} 1 & i \\\ i & 1 \end{array}\right), \quad B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} 1+i & 1-i \\\\ 1-i & 1+i \end{array}\right) .
Estas matrizes são unitárias?

Passo 1

O enunciado dá as duas matrizes
A=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix},\qquad B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix},
e pergunta: estas matrizes são unitárias?]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significa “unitária” (a parte teórica explicada de forma prática).
  • Uma matriz complexa U é unitária se a sua inversa for igual à sua conjugada transposta. Em símbolos:
U \text{ é unitária} \quad\Longleftrightarrow\quad U^{*} U = I,éá
onde U^{*} é a conjugada transposta de U (ou seja, primeiro conjugamos cada entrada e depois transpondo). Outra forma equivalente é U U^{*}=I.
  • Intuição prática: colunas de uma matriz unitária formam um conjunto ortonormal no espaço complexo (produto interno conjugado), então verificar U^{*}U=I é a forma direta e algébrica de testar unitariadade.
Vou usar a verificação U^{*}U=I para cada matriz. Para isso preciso achar A^{*} e B^{*} (conjugadas transpostas) e multiplicar.

Passo 3

Calcular A^{*}. Primeiro tomo a conjugada da matriz interna e depois transponho.
A parte interna de A é \begin{pmatrix}1 & i\\\ i & 1\end{pmatrix}. Conjugando cada entrada obtemos \begin{pmatrix}1 & -i\\\\ -i & 1\end{pmatrix}. Como essa matriz é simétrica, a transposição não altera a forma. Portanto
A^{*}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{*}A. Multiplicamos
A^{*}A=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] -i & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & i\\[4pt] i & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada entrada do produto das duas matrizes internas:
  • Entrada (1,1): (1)(1)+(-i)(i)=1+(-i\cdot i)=1+(-i^2)=1-(-1)=2.
  • Entrada (1,2): (1)(i)+(-i)(1)=i-i=0.
  • Entrada (2,1): (-i)(1)+(1)(i)=-i+i=0.
  • Entrada (2,2): (-i)(i)+(1)(1)= -i^2+1 = -(-1)+1=2.
Logo o produto interno é \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}. Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} obtemos
A^{*}A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Portanto A^{*}A=I, ou seja, A é unitária.]

Passo 5

Calcular B^{*}. A parte interna de B é \begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix}. Conjugando cada entrada trocamos i por -i, obtendo \begin{pmatrix}1-i & 1+i\\[4pt] 1+i & 1-i\end{pmatrix}. Como a matriz é simétrica, a transposta não altera, logo
B^{*}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1-i & 1+i\\[4pt] 1+i & 1-i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular B^{*}B. Temos
B^{*}B=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \begin{pmatrix}1-i & 1+i\\[4pt] 1+i & 1-i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1+i & 1-i\\[4pt] 1-i & 1+i\end{pmatrix} =\frac{1}{4}\,M,
onde M é o produto das matrizes internas. Calculo as entradas de M:
  • Entrada (1,1): (1-i)(1+i)+(1+i)(1-i). Note que (1-i)(1+i)=1-(i)^2=2. Então (1,1)=2+2=4.
  • Entrada (1,2): (1-i)(1-i)+(1+i)(1+i)=(1-i)^2+(1+i)^2.
    Calculo (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i e (1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i. Soma -2i+2i=0.
  • Entrada (2,1): similar a (1,2), dá 0.
  • Entrada (2,2): (1+i)(1-i)+(1-i)(1+i)=2+2=4 (mesmo cálculo que (1,1)).
Logo M=\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}. Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} obtemos
B^{*}B=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Portanto B^{*}B=I, logo B também é unitária.]

Passo 7

Resumo didático rápido para fixar: verificar unitariadade reduz-se a calcular a conjugada transposta e ver se o produto com a matriz original dá a identidade. Outra forma equivalente (útil na prova) é checar que as colunas são vetores unitários mutuamente ortogonais (produto interno conjugado zero entre colunas diferentes e norma 1 para cada coluna). Ambas A e B passam nesses testes, então são unitárias.

Resposta

A é unitária: Sim.
B é unitária: Sim.

Exercícios relacionados