Considere duas ondas viajando em direções opostas, cujos componentes do campo elétrico são dados por: E1=E0 cos (k z-omega t) x e E2=E0 cos (k z+omega t) x: Calcule a onda estacionária associada a componente elétrico da onda EM.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a onda estacionária associada à componente elétrica de duas ondas eletromagnéticas que estão viajando em direções opostas. A gente tem as expressões das duas ondas:
E1 = E0 cos (k z - omega t) x
E2 = E0 cos (k z + omega t) x
Para resolver isso, vamos precisar somar essas duas ondas e simplificar a expressão para chegar na forma de uma onda estacionária. Vamos usar algumas identidades trigonométricas para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas componentes elétricas:
E = E1 + E2 = E0 cos (k z - omega t) x + E0 cos (k z + omega t) x
Como ambas as ondas estão na mesma direção ( E = E0 [ cos (k z - omega t) + cos (k z + omega t) ] x ), podemos somar os coeficientes:

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a soma de dois cossenos:
cos A + cos B = 2 cos ( A + B2 ) cos ( A - B2 )
Aqui, podemos identificar:
A = k z - omega t
B = k z + omega t

Passo 4

Aplicando a identidade trigonométrica:
cos (k z - omega t) + cos (k z + omega t) = 2 cos ( (k z - omega t) + (k z + omega t)2 ) cos ( (k z - omega t) - (k z + omega t)2 )
Vamos simplificar as expressões dentro dos cossenos:
(k z - omega t) + (k z + omega t)2 = 2 k z2 = k z
(k z - omega t) - (k z + omega t)2 = -2 omega t2 = -omega t
Então, temos:
cos (k z - omega t) + cos (k z + omega t) = 2 cos (k z) cos (-omega t)

Passo 5

Sabemos que o cosseno é uma função par, ou seja, 2 cos (k z) cos (-omega t) = 2 cos (k z) cos (omega t) . Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão da componente elétrica:
E = E0 times 2 cos (k z) cos (omega t) x = 2 E0 cos (k z) cos (omega t) x

Resposta

A onda estacionária associada à componente elétrica é:
E = 2 E0 cos (k z) cos (omega t) x

Exercícios relacionados