Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se z=f(x, y) é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores a< X e c é dado por:
P(a
Os valores esperados para X e Y é dado por:
mux=integral-infty^infty integral-infty^infty x f(x, y) d y d x е muy=integral-infty^infty integral-infty^infty y f(x, y) d y d x е
Sabendo que,
f(x, y)=ll 0,1 e^-(0,5 x+0,2 y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário , á
Determine P(Y>1);

Passo 1

Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias contínuas, f(x, y) = 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário e , com uma densidade de probabilidade conjunta definida da seguinte forma:
á
O que queremos encontrar é a probabilidade de ser maior que 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados a funções de densidade de probabilidade conjuntas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de P(Y > 1) = integral0^infty integral1^infty f(x, y) , dy , dx pode ser encontrada integrando a densidade conjunta sobre todos os valores de e que satisfazem . Isso significa que varia de 0 até o infinito e varia de 1 até o infinito.
Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função P(Y > 1) = integral0^infty integral1^infty 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y) , dy , dx na integral. Sabemos que para . Então a expressão fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^infty 0,1 cdot e^-(0,5x + 0,2y) , dy . Mantendo 0,1 cdot e^-0,5x integral1^infty e^-0,2y , dy constante, temos:
Podemos fatorar os termos que não dependem de :

Passo 5

Agora, vamos integrar integral1^infty e^-0,2y , dy = [ -10,2 e^-0,2y ]1^infty = [ 0 - ( -10,2 e^-0,2 cdot 1 ) ] = 10,2 e^-0,2 em relação a 10,2 = 5 de 1 até infinito:
5 e^-0,2
Simplificando:
Então:

Passo 6

Voltando à integral original, temos agora:
0,1 cdot e^-0,5x cdot 5 e^-0,2 = 0,5 e^-0,2 e^-0,5x
Agora, a integral em relação a P(Y > 1) = 0,5 e^-0,2 integral0^infty e^-0,5x , dx fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral integral0^infty e^-0,5x , dx = [ -10,5 e^-0,5x ]0^infty = [ 0 - ( -10,5 e^0 ) ] = 10,5 = 2 :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para P(Y > 1) = 0,5 e^-0,2 cdot 2 = e^-0,2 :

Resposta

A probabilidade de ser maior que 1 é , aproximadamente igual a 0,8187.

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