Deve-se construir uma caixa retangular fechada de 2 m^3 de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é $200,00, $400,00 e $ 300,00, respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização! A gente precisa construir uma caixa retangular fechada com volume de 2 metros cúbicos. O objetivo é encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) que vão minimizar o custo total dos materiais. Aqui, o conteúdo que vamos usar é cálculo, especialmente otimização com restrições. Vamos precisar das fórmulas de volume e de custos, além de um pouco de álgebra para otimizar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento da caixa (em metros).
  • Seja a largura da caixa (em metros).
  • Seja a altura da caixa (em metros).

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é 2 m³, então podemos escrever a equação do volume:
Isso será nossa restrição para o problema.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa:
  • Área do fundo:
  • Área da tampa:
  • Área das laterais:

Passo 5

O custo total será a soma dos custos de todas as partes:

Passo 6

Queremos minimizar sob a restrição do volume. Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Por exemplo, isolando :

Passo 7

Substituindo na equação de custos:

Passo 8

Agora, temos uma função de custo em termos de e . Para minimizar, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
Para :
Para :

Passo 9

Vamos resolver essas equações para e .
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 10

Agora, substituímos da primeira equação na segunda:

Passo 11

Agora, encontramos . Vamos achar usando:

Passo 12

Por fim, encontramos usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
  • Comprimento: 1,333 metros
  • Largura: 1,287 metros
  • Altura: 1,167 metros

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