1. Considere a EDO a \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \cdot \frac{d y}{d x}+c y=0 com a, b . c \in \mathbb{R} tais que b^{2}-4 a c=0 e a \neq 0. Mostre que:
    (a) y_{1}(x)=e^{-\frac{b}{2 a} x} é solução da EDO.
    (b) y(x)=c_{1} e^{r x}+c_{2} x e^{r x} com r=-\frac{b}{2 a} é a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
a\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + b\,\frac{dy}{dx} + c\,y = 0,
onde a\neq0 e o discriminante satisfaz b^{2}-4ac=0. Nesse caso temos raiz real repetida
r = -\frac{b}{2a}.
Vamos primeiro verificar que
y_{1}(x) = e^{r x}
é solução e depois obter a solução geral usando o fato de r ser dupla.

Passo 2

Para mostrar que y_{1}(x)=e^{r x} é solução, calculamos
\frac{dy_{1}}{dx} = r\,e^{r x}, \quad \frac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} = r^{2}\,e^{r x}.
Substituindo na EDO:
a\,r^{2}e^{r x} + b\,r\,e^{r x} + c\,e^{r x} = e^{r x}\bigl(a\,r^{2}+b\,r+c\bigr).
Como r=-\tfrac{b}{2a}, temos
a\,r^{2}+b\,r+c = a\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr)^{2} + b\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr) + c = \frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a}+c = \frac{b^{2}-4ac}{4a} =0.
Logo a substituição dá zero, provando que y_{1} é solução.

Passo 3

Como o discriminante é zero, a raiz r é dupla e sabemos que uma segunda solução independente pode ser escolhida como
y_{2}(x) = x\,e^{r x}.
Para conferir, basta derivar:
\frac{dy_{2}}{dx} = e^{r x} + r\,x\,e^{r x}, \quad \frac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} = 2r\,e^{r x} + r^{2}\,x\,e^{r x},
e repetir a substituição na EDO. Cada termo em e^{r x} agrupa em fator a\,r^{2}+b\,r+c=0 e em fator extra que também zera, confirmando que y_{2} satisfaz a EDO.

Passo 4

Como y_{1} e y_{2} são soluções linearmente independentes, a solução geral da EDO é
y(x) = c_{1}\,y_{1}(x) + c_{2}\,y_{2}(x) = c_{1}\,e^{r x} + c_{2}\,x\,e^{r x},
com r=-\tfrac{b}{2a}.

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{-\frac{b}{2a}x} é solução da EDO.
(b) A solução geral é
y(x)=c_{1}\,e^{-\frac{b}{2a}x}+c_{2}\,x\,e^{-\frac{b}{2a}x}.

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