- Considere a EDO
com
tais que
e
. Mostre que:
(a)
é solução da EDO.
(b)
com
é a solução geral da EDO.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
e o discriminante satisfaz
. Nesse caso temos raiz real repetida
Vamos primeiro verificar que
é solução e depois obter a solução geral usando o fato de
ser dupla.
Passo 2
Para mostrar que
é solução, calculamos
Substituindo na EDO:
Como
, temos
Logo a substituição dá zero, provando que
é solução.
Passo 3
Como o discriminante é zero, a raiz
é dupla e sabemos que uma segunda solução independente pode ser escolhida como
Para conferir, basta derivar:
e repetir a substituição na EDO. Cada termo em
agrupa em fator
e em fator extra que também zera, confirmando que
satisfaz a EDO.
Passo 4
Como
e
são soluções linearmente independentes, a solução geral da EDO é
com
.
Resposta
(a)
é solução da EDO.
(b) A solução geral é
(b) A solução geral é