Considere a EDO linear de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem:
\frac{d y}{d x}-2 y=e^{2 x}
Sabendo que a solução geral dessa equação é:
y(x)=C e^{2 x}-\frac{1}{2} x e^{2 x}
Determine o valor da constante C que satisfaz a condição inicial:
y(0)=3

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A solução geral da equação diferencial é
y(x)=C e^{2 x}-\frac{1}{2} x e^{2 x}.
  • A condição inicial exigida é
y(0)=3.
O objetivo é determinar o valor da constante C que torna a solução compatível com essa condição inicial.

Passo 2

Ideia do procedimento (sem cálculos ainda): uma condição inicial do tipo y(0)= valor significa que devemos avaliar a solução geral em x=0 e igualar ao valor dado. Assim, substituiremos x=0 na expressão de y(x) e resolveremos a equação resultante para C.

Passo 3

Substituindo x=0 na solução geral, obtemos:
y(0)=C e^{2\cdot 0}-\frac{1}{2}\cdot 0 \cdot e^{2\cdot 0}.
Aqui foi usada a mesma forma da solução, trocando x por 0.

Passo 4

Agora simplificamos as potências e os produtos:
  • Lembrar que e^{0}=1.
  • O segundo termo tem fator \,0, portanto é igual a 0.
    Aplicando isso:
y(0)=C\cdot 1 - 0 = C.

Passo 5

Como a condição inicial exige y(0)=3, igualamos e resolvemos para C:
C = 3.

Resposta

C=3

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