Determine a derivada parcial de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem:
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A integral tem limite superior igual a
e limite inferior igual a . - O integrando é
, que é uma função contínua de para todo . - As variáveis independentes são
e ; ao calcular uma parcial, a outra variável fica fixa.
Passo 2
Vamos identificar o integrando como uma função de
. Definimos
Então podemos reescrever
Isto deixa claro que temos uma integral com limites que dependem de
e de
.
Passo 3
Regra básica que usaremos (uma forma do Teorema Fundamental do Cálculo combinada com diferenciação de limites variáveis):
Seja
contínua. Para a função
vale
De forma análoga, se o limite inferior depende de uma variável
,
Intuição rápida: um pequeno aumento
do limite superior adiciona aproximadamente uma área
; um aumento do limite inferior remove aproximadamente
, daí o sinal negativo.
Passo 4
Cálculo de
:
Ao derivar parcialmente em relação a
, trata-se o
como constante, então somente o limite superior muda. Aplicando a regra do Passo 3:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Cálculo de
:
Ao derivar parcialmente em relação a
,
fica fixo e muda o limite inferior. Pela regra do Passo 3, obteremos o negativo do integrando avaliado em
:
Substituindo
obtemos
Passo 6
Exemplo rápido (para fixar a ideia): se
, então
e
. É a mesma lógica: avaliar o integrando no limite que varia, com sinal negativo se for o limite inferior.