Determine a derivada parcial de primeira ordem da função.
F(x, y)=\int_{y}^{x} \cos \left(e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=\int_{y}^{x}\cos\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
e pede as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral tem limite superior igual a \,x\, e limite inferior igual a \,y\,.
  • O integrando é \cos\bigl(e^{t}\bigr), que é uma função contínua de t para todo t\in\mathbb{R}.
  • As variáveis independentes são x e y; ao calcular uma parcial, a outra variável fica fixa.

Passo 2

Vamos identificar o integrando como uma função de t. Definimos
f(t)=\cos\bigl(e^{t}\bigr).
Então podemos reescrever
F(x,y)=\int_{y}^{x} f(t)\,dt.
Isto deixa claro que temos uma integral com limites que dependem de x e de y.

Passo 3

Regra básica que usaremos (uma forma do Teorema Fundamental do Cálculo combinada com diferenciação de limites variáveis):
Seja f contínua. Para a função \displaystyle G(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt vale
\frac{d}{du}G(u)=f(u).
De forma análoga, se o limite inferior depende de uma variável \tau,
\frac{d}{d\tau}\int_{\tau}^{b} f(t)\,dt = -f(\tau).
Intuição rápida: um pequeno aumento \Delta u do limite superior adiciona aproximadamente uma área f(u)\,\Delta u; um aumento do limite inferior remove aproximadamente f(\tau)\,\Delta \tau, daí o sinal negativo.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y):
Ao derivar parcialmente em relação a x, trata-se o y como constante, então somente o limite superior muda. Aplicando a regra do Passo 3:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\int_{y}^{x} f(t)\,dt\right)=f(x).
Substituindo f(t)=\cos\bigl(e^{t}\bigr) obtemos
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\cos\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y):
Ao derivar parcialmente em relação a y, x fica fixo e muda o limite inferior. Pela regra do Passo 3, obteremos o negativo do integrando avaliado em y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\int_{y}^{x} f(t)\,dt\right)=-f(y).
Substituindo f(t)=\cos\bigl(e^{t}\bigr) obtemos
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=-\cos\bigl(e^{y}\bigr).

Passo 6

Exemplo rápido (para fixar a ideia): se G(x,y)=\int_{y}^{x} t\,dt, então \partial G/\partial x = x e \partial G/\partial y = -y. É a mesma lógica: avaliar o integrando no limite que varia, com sinal negativo se for o limite inferior.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\cos\bigl(e^{x}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=-\cos\bigl(e^{y}\bigr)

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