Considere a EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem x^{\prime \prime}+16 x=0
a) Verifique que x=c_{1} \cos 4 t+c_{2} \operatorname{sen} 4 t é uma solução da equação dada.
b) encontre uma solução do PVI de 2^{\text {a }} ordem: \left\{\begin{array}{c}x^{\prime \prime}+16 x=0 \\\ x\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2 \\\ x^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de 2ª ordem
x'' + 16x = 0
pede duas coisas:
(a) Verificar se a função proposta x = c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t\) é solução da EDO (isto é, substituir e checar se a igualdade se mantém).
- (b) Encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
\[\begin{cases} x'' + 16x = 0,\\[4pt] x\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -2,\\[4pt] x'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1. \end{cases}
As informações relevantes fornecidas são a forma proposta da solução geral com constantes c_{1}\] e \(c_{2} e os valores iniciais em t=\dfrac{\pi}{2}. A resolução começará calculando derivadas e verificando a EDO, depois aplicaremos as condições iniciais para determinar c_{1} e c_{2}.]
Passo 2
Vamos verificar (a) por substituição direta. Primeiro precisamos calcular x' (a primeira derivada) da função proposta. Lembre-se das regras de derivação que vamos usar: a derivada de \cos(4t) é -\sin(4t) vezes a derivada interna 4 (regra da cadeia), portanto \dfrac{d}{dt}\cos(4t)=-4\sin(4t). Similarmente, \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(4t)=4\cos(4t).
Como a soma é 0 para todo t, concluímos que x=c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t é de fato uma solução geral da EDO. Assim a parte (a) está verificada.
Passo 6
Agora resolvemos o PVI (parte (b)). Já temos a forma geral
Aplicamos as condições iniciais em t=\dfrac{\pi}{2}. Primeiro calculamos os valores trigonométricos necessários: 4\cdot \dfrac{\pi}{2}=2\pi, então \cos(2\pi)=1 e \operatorname{sen}(2\pi)=0. Substituindo em x e x':