Considere a EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem x^{\prime \prime}+16 x=0
a) Verifique que x=c_{1} \cos 4 t+c_{2} \operatorname{sen} 4 t é uma solução da equação dada.
b) encontre uma solução do PVI de 2^{\text {a }} ordem: \left\{\begin{array}{c}x^{\prime \prime}+16 x=0 \\\ x\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2 \\\ x^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de 2ª ordem
x'' + 16x = 0
pede duas coisas:
  • (a) Verificar se a função proposta x = c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t\) é solução da EDO (isto é, substituir e checar se a igualdade se mantém). - (b) Encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI) \[\begin{cases} x'' + 16x = 0,\\[4pt] x\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -2,\\[4pt] x'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1. \end{cases}
As informações relevantes fornecidas são a forma proposta da solução geral com constantes c_{1}\] e \(c_{2} e os valores iniciais em t=\dfrac{\pi}{2}. A resolução começará calculando derivadas e verificando a EDO, depois aplicaremos as condições iniciais para determinar c_{1} e c_{2}.]

Passo 2

Vamos verificar (a) por substituição direta. Primeiro precisamos calcular x' (a primeira derivada) da função proposta. Lembre-se das regras de derivação que vamos usar: a derivada de \cos(4t) é -\sin(4t) vezes a derivada interna 4 (regra da cadeia), portanto \dfrac{d}{dt}\cos(4t)=-4\sin(4t). Similarmente, \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(4t)=4\cos(4t).

Passo 3

Calculemos a primeira derivada de
x(t)=c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t.
Usando a regra da cadeia:
x'(t)=c_{1}\cdot(-4\operatorname{sen} 4t) + c_{2}\cdot(4\cos 4t).
Ou escrevendo de forma limpa:
x'(t) = -4c_{1}\operatorname{sen} 4t + 4c_{2}\cos 4t.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada x''(t) derivando x'(t). Novamente aplicamos a regra da cadeia:
  • A derivada de -4c_{1}\operatorname{sen} 4t é -4c_{1}\cdot(4\cos 4t) = -16c_{1}\cos 4t.
  • A derivada de 4c_{2}\cos 4t é 4c_{2}\cdot(-4\operatorname{sen} 4t) = -16c_{2}\operatorname{sen} 4t.
    Portanto
x''(t) = -16c_{1}\cos 4t - 16c_{2}\operatorname{sen} 4t.

Passo 5

Substituímos x(t) e x''(t) na EDO x''+16x:
x''(t) + 16x(t) = \big(-16c_{1}\cos 4t - 16c_{2}\operatorname{sen} 4t\big) + 16\big(c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t\big).
Agrupando termos obtemos
x''(t) + 16x(t) = \big(-16c_{1}\cos 4t + 16c_{1}\cos 4t\big) + \big(-16c_{2}\operatorname{sen} 4t + 16c_{2}\operatorname{sen} 4t\big) = 0.
Como a soma é 0 para todo t, concluímos que x=c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t é de fato uma solução geral da EDO. Assim a parte (a) está verificada.

Passo 6

Agora resolvemos o PVI (parte (b)). Já temos a forma geral
x(t)=c_{1}\cos 4t + c_{2}\operatorname{sen} 4t, \qquad x'(t)=-4c_{1}\operatorname{sen} 4t + 4c_{2}\cos 4t.
Aplicamos as condições iniciais em t=\dfrac{\pi}{2}. Primeiro calculamos os valores trigonométricos necessários: 4\cdot \dfrac{\pi}{2}=2\pi, então \cos(2\pi)=1 e \operatorname{sen}(2\pi)=0. Substituindo em x e x':
Para x\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-2:
x\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=c_{1}\cos(2\pi)+c_{2}\operatorname{sen}(2\pi)=c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = c_{1}.
Logo obtemos a equação
c_{1} = -2.
Para x'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1:
x'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -4c_{1}\operatorname{sen}(2\pi) + 4c_{2}\cos(2\pi) = -4c_{1}\cdot 0 + 4c_{2}\cdot 1 = 4c_{2}.
Portanto
4c_{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad c_{2} = \dfrac{1}{4}.

Passo 7

Substituímos c_{1}=-2 e c_{2}=\dfrac{1}{4} na expressão geral para obter a solução particular do PVI:
x(t) = -2\cos 4t + \dfrac{1}{4}\operatorname{sen} 4t.
Podemos (rapidinho) checar: em t=\dfrac{\pi}{2} temos x=-2 e x'=4\cdot\dfrac{1}{4}=1, então as condições são satisfeitas.

Resposta

(a) Sim. x=c_{1}\cos 4t+c_{2}\operatorname{sen} 4t é solução da equação x''+16x=0.\n(b) x(t)=-2\cos 4t+\dfrac{1}{4}\operatorname{sen} 4t

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