Utilizando os resultados do exercício 2, determine a solução da equação diferencial
com a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial. Dados fornecidos:
e
A tarefa é determinar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Interpretação e preparação para resolver: escrevemos
como a derivada
. Assim a equação fica
Queremos isolar os termos em
de um lado e os termos em
do outro — método de separação de variáveis. Observação: dividir por
exige cuidado quando
, pois
é solução trivial; no entanto a condição inicial
exclui essa solução trivial, então podemos dividir por
sem problemas no caso que nos interessa.
Passo 3
Separando as variáveis, obtemos
Agora integramos ambos os lados: a integral de
é
e a integral de
é
, mais uma constante de integração. Logo
onde
é uma constante real.
Passo 4
Isolando
fazemos a exponenciação das duas partes:
Chamando
e lembrando que o sinal pode ser absorvido na constante (isto é, a solução geral real tem a forma
com
), obtemos a solução geral
onde
é uma constante real.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
: substituindo
na solução geral dá
Portanto a constante é
.
Passo 6
Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial, temos
Vamos conferir rapidamente: derivando,
e
, logo
é satisfeita; e
, condição inicial satisfeita. A solução é definida para todos os
e é única para essa condição inicial.