Utilizando os resultados do exercício 2, determine a solução da equação diferencial y^{\prime}=2 y com a condição inicial y(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial. Dados fornecidos:
y' = 2y
e
y(0)=3.
A tarefa é determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Interpretação e preparação para resolver: escrevemos y' como a derivada \dfrac{dy}{dx}. Assim a equação fica
\frac{dy}{dx}=2y.
Queremos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro — método de separação de variáveis. Observação: dividir por y exige cuidado quando y=0, pois y\equiv0 é solução trivial; no entanto a condição inicial y(0)=3 exclui essa solução trivial, então podemos dividir por y sem problemas no caso que nos interessa.

Passo 3

Separando as variáveis, obtemos
\frac{1}{y}\,dy = 2\,dx.
Agora integramos ambos os lados: a integral de \dfrac{1}{y}\,dy é \ln|y| e a integral de 2\,dx é 2x, mais uma constante de integração. Logo
\ln|y| = 2x + C,
onde C é uma constante real.

Passo 4

Isolando y fazemos a exponenciação das duas partes:
|y| = e^{2x+C} = e^{C}e^{2x}.
Chamando A=e^{C}>0 e lembrando que o sinal pode ser absorvido na constante (isto é, a solução geral real tem a forma y = C_{\text{geral}} e^{2x} com C_{\text{geral}}\in\mathbb{R}), obtemos a solução geral
y(x) = C e^{2x},
onde C é uma constante real.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=3: substituindo x=0 na solução geral dá
y(0)=C e^{0}=C=3.
Portanto a constante é C=3.

Passo 6

Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial, temos
y(x)=3e^{2x}.
Vamos conferir rapidamente: derivando,
y'(x)=3\cdot 2 e^{2x}=6e^{2x},
e 2y(x)=2\cdot 3e^{2x}=6e^{2x}, logo y'=2y é satisfeita; e y(0)=3e^{0}=3, condição inicial satisfeita. A solução é definida para todos os x\in\mathbb{R} e é única para essa condição inicial.

Resposta

y(x)=3e^{2x}

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