Considere a EDO de 3^{\text {a }} ordem que modela a dinâmica de um sistema, a seguir:
\dddot{y}(t)+5 \ddot{y}(t)+8 \dot{y}(t)+4 y(t)=2 \dot{u}(t)+3 u(t)
Represente este sistema em espaço de estados na forma canônica diagonal ou de Jordan, justificando a forma canônica utilizada.

Passo 1

O enunciado fornece a EDO de terceira ordem que relaciona o sinal de saída y(t) ao sinal de entrada u(t):
\dddot{y}(t)+5\,\ddot{y}(t)+8\,\dot{y}(t)+4\,y(t)=2\,\dot{u}(t)+3\,u(t).
Queremos escrever esse sistema na forma de espaço de estados
\dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,x(t),
usando a forma canônica diagonal ou de Jordan. Para escolher entre elas, vamos analisar os polos do sistema.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace (condições iniciais nulas), obtemos a função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{2\,s+3}{s^3+5\,s^2+8\,s+4}.

Passo 3

Fatoramos o polinômio do denominador:
s^3+5s^2+8s+4=(s+1)(s^2+4s+4)=(s+1)(s+2)^2.
Assim, há um polo simples em s=-1 e um polo duplo em s=-2. Como há raiz repetida, não é possível diagonalizar completamente A: devemos usar um bloco de Jordan 2\times2 para o polo em -2.

Passo 4

Na forma canônica de Jordan, escolhemos a matriz A blocada por modos:
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},
onde o 1 acima da diagonal em \{2,3\} cria o bloco de Jordan de tamanho 2 para o polo duplo -2. O primeiro modo ( -1) fica isolado em (1,1).

Passo 5

Para ajustar a função de transferência obtemos a expansão em frações parciais:
\frac{2s+3}{(s+1)(s+2)^2} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^2}.
Num sistema modal de Jordan,
(sI-A)^{-1}B =\begin{pmatrix} \frac{1}{s+1}\\[6pt] \ast\\[2pt] \ast \end{pmatrix},
e o bloco 2\times2 produz termos em \tfrac{1}{s+2} e \tfrac{1}{(s+2)^2}. Escolhendo
B=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\end{pmatrix},
garantimos que
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^2}.]

Resposta

A representação em espaço de estados na forma canônica de Jordan é
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Justificativa da forma: há uma raiz repetida em s=-2, o que impede a diagonalização completa e exige um bloco de Jordan 2\times2.

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