Considere a EDO de
ordem que modela a dinâmica de um sistema, a seguir:
Represente este sistema em espaço de estados na forma canônica diagonal ou de Jordan, justificando a forma canônica utilizada.
Passo 1
O enunciado fornece a EDO de terceira ordem que relaciona o sinal de saída
ao sinal de entrada
:
Queremos escrever esse sistema na forma de espaço de estados
usando a forma canônica diagonal ou de Jordan. Para escolher entre elas, vamos analisar os polos do sistema.
Passo 2
Aplicando transformada de Laplace (condições iniciais nulas), obtemos a função de transferência
Passo 3
Fatoramos o polinômio do denominador:
Assim, há um polo simples em
e um polo duplo em
. Como há raiz repetida, não é possível diagonalizar completamente
: devemos usar um bloco de Jordan
para o polo em
.
Passo 4
Na forma canônica de Jordan, escolhemos a matriz
blocada por modos:
onde o
acima da diagonal em
cria o bloco de Jordan de tamanho
para o polo duplo
. O primeiro modo (
) fica isolado em
.
Passo 5
Para ajustar a função de transferência obtemos a expansão em frações parciais:
Num sistema modal de Jordan,
e o bloco
produz termos em
e
. Escolhendo
garantimos que
Resposta
A representação em espaço de estados na forma canônica de Jordan é
Justificativa da forma: há uma raiz repetida em
, o que impede a diagonalização completa e exige um bloco de Jordan
.