Represente \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+6}{s^{2}+5 s+6} nas formas canônicas controlável, observável e diagonal (ou de Jordan).

Solução:

Controlável: \left[\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -6 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll}6 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]
Observável: \left[\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & -6 \\\\ 1 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 1\end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]
Diagonal: \left[\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{ll}4 & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para converter a função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s + 6}{s^2 + 5s + 6}
em três representações de espaço de estados: canônica controlável, canônica observável e forma diagonal. Vamos usar a relação padrão entre coeficientes do polinômio denominador s^2 + a_1 s + a_0 e do numerador b_1 s + b_0 para montar as matrizes A, B, C em cada caso.

Passo 2

Para a forma canônica controlável, tomamos
a_1 = 5, a_0 = 6, b_1 = 1, b_0 = 6.
As equações de estado ficam
\dot x(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[6pt] -\,a_0 & -\,a_1 \end{pmatrix} x(t) + \begin{pmatrix}0 \\[3pt]1\end{pmatrix} u(t), \qquad y(t) = \begin{pmatrix}b_0 & b_1\end{pmatrix} x(t).
Substituindo os valores:
A_{\mathrm{c}} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-6 & -5\end{pmatrix},\quad B_{\mathrm{c}} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix},\quad C_{\mathrm{c}} = \begin{pmatrix}6 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

A forma canônica observável é o sistema dual da controlável. Então
A_{\mathrm{o}} = A_{\mathrm{c}}^{T},\quad B_{\mathrm{o}} = C_{\mathrm{c}}^{T},\quad C_{\mathrm{o}} = B_{\mathrm{c}}^{T}.
Logo,
A_{\mathrm{o}} = \begin{pmatrix}0 & -6\\[3pt]1 & -5\end{pmatrix},\quad B_{\mathrm{o}} = \begin{pmatrix}6\\[3pt]1\end{pmatrix},\quad C_{\mathrm{o}} = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para chegar à forma diagonal, primeiro achamos as raízes do denominador:
s^2 +5s+6 = (s+2)(s+3)\;\Longrightarrow\; s = -2,\,-3.
Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s+6}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3},
com A+B=1 e 3A+2B=6. Daí A=4, B=-3, logo
\frac{s+6}{(s+2)(s+3)} = \frac{4}{s+2} - \frac{3}{s+3}.
Em forma diagonal escolhemos
A_{\mathrm{d}} = \begin{pmatrix}-2 & 0\\[3pt]0 & -3\end{pmatrix},\quad B_{\mathrm{d}} = \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix},\quad C_{\mathrm{d}} = \begin{pmatrix}4 & -3\end{pmatrix},
pois
C_{\mathrm{d}}\,(sI - A_{\mathrm{d}})^{-1}B_{\mathrm{d}} = \frac{4}{s+2} - \frac{3}{s+3} = \frac{s+6}{s^2+5s+6}.]

Resposta

Controlável:
\dot x(t) = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-6 & -5\end{pmatrix}x(t) + \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}u(t), \quad y(t) = \begin{pmatrix}6 & 1\end{pmatrix}x(t).
Observável:
\dot x(t) = \begin{pmatrix}0 & -6\\[3pt]1 & -5\end{pmatrix}x(t) + \begin{pmatrix}6\\[3pt]1\end{pmatrix}u(t), \quad y(t) = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}x(t).
Diagonal:
\dot x(t) = \begin{pmatrix}-2 & 0\\[3pt]0 & -3\end{pmatrix}x(t) + \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}u(t), \quad y(t) = \begin{pmatrix}4 & -3\end{pmatrix}x(t).]

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