Escreva o sistema em espaço de estados abaixo na forma canônica controlável.
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -4 & -3 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array}\right] \mathbf{x}(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\,\mathbf{x}(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,\mathbf{x}(t)
com
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ -4&-3\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix},
e pede a forma canônica controlável. Para isso vamos (i) obter o polinômio característico de A, (ii) escrever a forma canônica para (A_c,B_c) e (iii) ajustar C_c pelos parâmetros de Markov.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(sI-A) =\det\!\begin{pmatrix}s-1&-2\\\ 4&s+3\end{pmatrix} =(s-1)(s+3)+8 =s^2+2s+5.
Logo os coeficientes são d_1=2 e d_0=5.

Passo 3

Na forma canônica controlável de segunda ordem escolhemos
A_c=\begin{pmatrix}0&1\\\ -d_0&-d_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ -5&-2\end{pmatrix}, \quad B_c=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para ajustar C_c usamos os dois primeiros parâmetros de Markov:
h_0=C\,B =\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} =3, \quad h_1=C\,A\,B =\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\\ -10\end{pmatrix} =-5.
Na forma canônica controlável o numerador do sistema é h_1 + h_0\,s, o que corresponde a
C_c=\begin{pmatrix}h_1 & h_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5 & 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Portanto, na forma canônica controlável, o sistema fica
\dot{\mathbf{x}}_c(t) =\begin{pmatrix}0&1\\\ -5&-2\end{pmatrix}\mathbf{x}_c(t) +\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}u(t), \quad y(t)=\begin{pmatrix}-5&3\end{pmatrix}\mathbf{x}_c(t).

Resposta

A_c=\begin{pmatrix}0&1\\\ -5&-2\end{pmatrix},\quad B_c=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C_c=\begin{pmatrix}-5&3\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados