Considere um elétron confinado em uma caixa unidimensional de paredes infinitamente altas (poço de potencial infinito). Sabe-se que os níveis de energia desse sistema são quantizados. Com base nesse modelo, assinale a alternativa correta.
(A) A quantização da energia só ocorre quando há uma perturbação externa no sistema, sendo inexistente em sistemas isolados e estáveis.
(B) A energia do estado fundamental ( \mathrm{n}=1 ) é zero, pois o elétron pode estar em repouso dentro da caixa.
(C) A diferença de energia entre dois níveis consecutivos ( \mathrm{E}_{n+1}-\mathrm{E}_{n} ) cresce linearmente com n , resultando em espaçamentos iguais entre os níveis de energia.
(D) A quantização da energia decorre da imposição de condições de contorno para a função de onda, restringindo os valores permitidos para o momento do elétron.

Passo 1

O enunciado descreve um el \acute{e}tron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L com paredes infinitas. Na teoria qu^antica de po\c{c}o infinito, resolvemos a equa\c{c}~ao de Schr"odinger estacion’aria sob as condi\c{c}~oes de contorno \psi(0)=\psi(L)=0, o que leva `a quantiza\c{c}~ao dos valores de momento e, consequentemente, da energia.

Passo 2

Resolvendo a equa\c{c}~ao de Schr"odinger com \psi(0)=\psi(L)=0, obtemos n’umeros de onda quantizados
k_n = \frac{n\pi}{L},\quad n=1,2,3,\dots
e energia
E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}.
Isso mostra que a origem da quantiza\c{c}~ao est’a nas condi\c{c}~oes de contorno, que restringem k e, assim, o momento p=\hbar k.

Passo 3

Analisando a alternativa (A): ela diz que “a quantização da energia só ocorre com perturbação externa”. Mas no poço infinito não há perturbação externa: o próprio confinamento e as condições de contorno geram níveis discretos. Logo, (A) é falsa.

Passo 4

Analisando a alternativa (B): afirma que a energia do estado fundamental n=1 'e zero. Contudo,
E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} > 0,
de modo que existe energia de ponto zero. Portanto, (B) 'e falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (C): a diferença entre níveis consecutivos é
E_{n+1}-E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}\bigl[(n+1)^2 - n^2\bigr] = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}(2n+1),
que cresce com n. Mas isso não resulta em espaçamentos iguais; ao contrário, eles aumentam em função de n. Logo, (C) é falsa.

Passo 6

Analisando a alternativa (D): ela afirma que “a quantização da energia decorre da imposição de condições de contorno para a função de onda, restringindo os valores permitidos para o momento”. Isso coincide exatamente com a derivação para o poço infinito. Portanto, (D) é verdadeira.

Resposta

(D)

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