Considere um ensaio triaxial C.U. de compressão axial, realizado em uma argila normalmente adensada. Em um certo instante da fase de cisalhamento, constatou-se que p’ =50 \mathrm{kPa}. Sabe-se ainda que \mathrm{A}=0,50 e \varphi^{\prime}=30^{\circ}. Pede-se:
a) a tensão vertical efetiva no início do cisalhamento; 50 kPa
b) a tensão vertical total no instante de ruptura; 100 kPa
c) o ângulo formado pelo plano de ruptura com o plano onde atua a tensão cisalhante máxima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta:
Dados:
  • Em certo instante da fase de cisalhamento foi verificado que p' = 50\\ \mathrm{kPa}.
  • Parâmetro de Skempton A = 0,50.
  • Ângulo de atrito efetivo \varphi' = 30^\circ.
Perguntas:
a) Qual a tensão vertical efetiva no início do cisalhamento?
b) Qual a tensão vertical total no instante de ruptura?
c) Qual o ângulo formado pelo plano de ruptura com o plano onde atua a tensão cisalhante máxima?

Passo 2

Vamos definir claramente as tensões e os símbolos que usaremos (isto é importante para não se perder na prova):
  • \sigma_1 = tensão vertical total (evolui durante o ensaio, é a tensão aplicada axialmente).
  • \sigma_3 = tensão total de confinamento (aqui mantida constante durante o cisalhamento).
  • u = pressão de poros.
  • \sigma_1'=\sigma_1-u e \sigma_3'=\sigma_3-u são as tensões efetivas principais.
  • \Delta indica variação entre o instante considerado e o estado inicial (por ex. \Delta\sigma_1=\sigma_1-\sigma_{1,0}).
Explicação do parâmetro A (Skempton) numa situação típica de ensaio triaxial com \sigma_3 constante: para variação axial aplicada, a pressão de poros incrementa aproximadamente proporcionalmente à variação da tensão axial total, com
\Delta u = A\,\Delta\sigma_1,
quando \Delta\sigma_3=0. Aqui \Delta\sigma_1 é o aumento de tensão axial total causado pelo carregamento.
Essa relação nos permite escrever as tensões efetivas durante o cisalhamento em função da variação \Delta\sigma_1.

Passo 3

Identificando o estado inicial e as expressões úteis:
  • No início do cisalhamento o enunciado fornece p'=50\\ \mathrm{kPa}. Para o ensaio triaxial consolidado isotrópico inicial temos \sigma_{1,0}'=\sigma_{3,0}'=50\\ \mathrm{kPa}. Portanto a tensão vertical efetiva inicial pedida em (a) é
\boxed{\sigma_{1,0}'=50\\ \mathrm{kPa}.}
(Isto responde a (a).)
Agora vamos montar as expressões para as tensões efetivas durante o cisalhamento em função de \Delta\sigma_1.

Passo 4

Escrever \sigma_1' e \sigma_3' durante o cisalhamento usando \Delta\sigma_1 e a relação de Skempton:
Começamos do estado inicial com \sigma_{1,0}'=\sigma_{3,0}'=50\\ \mathrm{kPa}. Aplicando um incremento axial \Delta\sigma_1 (total) e lembrando que \sigma_3 total não muda, temos:
\begin{aligned} u &= u_0 + \Delta u = u_0 + A\,\Delta\sigma_1,\\\ \sigma_1' &= \sigma_{1,0} + \Delta\sigma_1 - u = (\sigma_{1,0}-u_0) + (1-A)\,\Delta\sigma_1,\\\ \sigma_3' &= \sigma_{3,0} - u = (\sigma_{3,0}-u_0) - A\,\Delta\sigma_1. \end{aligned}
Mas \sigma_{1,0}-u_0=\sigma_{3,0}-u_0=50\\ \mathrm{kPa} (estado efetivo inicial dado), portanto simplificamos para:
\boxed{\sigma_1' = 50 + (1-A)\,\Delta\sigma_1} \qquad\text{e}\qquad \boxed{\sigma_3' = 50 - A\,\Delta\sigma_1.}
Aqui \Delta\sigma_1 está em \mathrm{kPa} e A=0,50.

Passo 5

Impor a condição de ruptura em termos das tensões efetivas (critério de Mohr‑Coulomb em tensões efetivas). Para solo sem coesão efetiva relevante (ou considerando c'=0 se o enunciado não der c'), a relação entre \sigma_1' e \sigma_3' no momento da ruptura é
\sigma_1' = \sigma_3'\,\frac{1+\sin\varphi'}{1-\sin\varphi'}.
Calculemos o fator usando \varphi'=30^\circ (onde \sin30^\circ=0{,}5):
\frac{1+\sin\varphi'}{1-\sin\varphi'}=\frac{1+0{,}5}{1-0{,}5}=\frac{1{,}5}{0{,}5}=3.
Logo a condição de ruptura é simplesmente
\sigma_1' = 3\,\sigma_3'.

Passo 6

Agora substituímos as expressões de \sigma_1' e \sigma_3' (do Passo 4) na condição de ruptura e resolvemos para \Delta\sigma_1:
50 + (1-A)\,\Delta\sigma_1 = 3\bigl(50 - A\,\Delta\sigma_1\bigr).
Com A=0{,}50 temos 1-A=0{,}50. Substituindo:
50 + 0{,}50\,\Delta\sigma_1 = 3(50 - 0{,}50\,\Delta\sigma_1)=150 - 1{,}5\,\Delta\sigma_1.
Somando 1{,}5\,\Delta\sigma_1 aos dois lados e subtraindo 50:
0{,}50\,\Delta\sigma_1 + 1{,}5\,\Delta\sigma_1 = 100
2{,}0\,\Delta\sigma_1 = 100
\boxed{\Delta\sigma_1 = 50\\ \mathrm{kPa}.}

Passo 7

Calcular a tensão vertical total no instante de ruptura (resposta de (b)). A tensão vertical total final é
\sigma_1 = \sigma_{1,0} + \Delta\sigma_1.
No estado inicial, tipicamente em ensaios triaxiais isotrópicos consolidados usamos referência de pressões tal que a tensão total inicial coincide numericamente com a tensão efetiva inicial (ou seja, u_0 tomado como zero de referência para o balanço). Assim \sigma_{1,0}=50\\ \mathrm{kPa}. Então:
\boxed{\sigma_1 = 50 + 50 = 100\\ \mathrm{kPa}.}
(Observação: se o enunciado usa outra referência para u_0, o incremento \Delta\sigma_1=50\\ \mathrm{kPa} obtido acima permanece válido e a tensão total final seria \sigma_{1,0}+\Delta\sigma_1; na prática de laboratório a convenção adotada aqui dá \sigma_1=100\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 8

Determinar o ângulo pedido em (c): orientação do plano de ruptura em relação ao plano onde atua a tensão cisalhante máxima.
  • Em termos de ângulos (geometria de Mohr e planos reais): o plano de máxima tensão cisalhante está orientado a 45^\circ em relação aos planos principais (isto é, o plano de máxima cisalhação está a 45^\circ da direção de \sigma_1).
  • O plano de ruptura previsto pelo critério de Mohr‑Coulomb forma com a direção de \sigma_1 um ângulo igual a 45^\circ + \dfrac{\varphi'}{2}.
Portanto o ângulo entre o plano de ruptura e o plano de máxima cisalhação é a diferença entre esses dois ângulos:
\Delta\theta = \left(45^\circ + \frac{\varphi'}{2}\right) - 45^\circ = \frac{\varphi'}{2}.
Com \varphi'=30^\circ,
\boxed{\Delta\theta = \frac{30^\circ}{2}=15^\circ.}

Resposta

\text{(a) }50\\ \mathrm{kPa}
\text{(b) }100\\ \mathrm{kPa}
\text{\text{(c)} }15^\circ

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