Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é tangente à circunferência (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência (x-1)^2+(y-2)^2=1 e o ponto (1,2). Pede-se: determinar a equação da reta que passa por (1,2) e é tangente a essa circunferência. Listei as informações relevantes:
  • Centro da circunferência: C=(1,2) (porque a forma é (x-1)^2+(y-2)^2=1).
  • Raio da circunferência: r=1.
  • Ponto exigido da reta: P=(1,2) (mesmo ponto do centro).

Passo 2

Vou recordar uma condição prática e muito usada para tangência entre reta e circunferência: uma reta é tangente à circunferência se, e só se, a distância do centro da circunferência à reta for exatamente igual ao raio r.
A fórmula da distância do ponto (x_0,y_0) à reta ax+by+c=0 é:
d=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Aqui a,b,c são os coeficientes da reta e x_0,y_0 coordenadas do ponto cujo afastamento estamos medindo. Essa fórmula dá o comprimento do segmento perpendicular da reta até o ponto.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: o centro é C=(1,2) e o raio é r=1. Se existisse uma reta tangente que passa por C, ela deveria satisfazer simultaneamente:
  • passar por C, ou seja, para sua equação ax+by+c=0 teríamos a\cdot 1 + b\cdot 2 + c=0;
  • e ter distância do centro igual a 1, ou seja, pela fórmula,
\frac{|a\cdot 1 + b\cdot 2 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1.

Passo 4

Mas observe: se a reta passa por C então o numerador |a\cdot 1 + b\cdot 2 + c| é 0. Logo a distância do centro à reta seria
d=\frac{0}{\sqrt{a^2+b^2}}=0.
Para ser tangente precisamos de d=r=1. Assim teríamos 0=1, uma contradição. Em outras palavras, nenhuma reta que contenha o centro pode estar a uma distância igual ao raio (a menos que r=0, caso degenerado que aqui não ocorre).

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): uma reta que passe pelo centro de uma circunferência corta a circunferência em dois pontos opostos (é uma corda que é um diâmetro), nunca toca a circunferência apenas em um ponto. Uma tangente toca a circunferência em exatamente um ponto e é perpendicular ao raio naquele ponto; portanto a tangente não passa pelo centro.

Resposta

Não existe reta que passe por (1,2) e seja tangente à circunferência (x-1)^2+(y-2)^2=1\.

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