Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente à circunferência
Passo 1
O enunciado nos dá a circunferência
e o ponto
. Pede-se: determinar a equação da reta que passa por
e é tangente a essa circunferência. Listei as informações relevantes:
- Centro da circunferência:
(porque a forma é ). - Raio da circunferência:
. - Ponto exigido da reta:
(mesmo ponto do centro).
Passo 2
Vou recordar uma condição prática e muito usada para tangência entre reta e circunferência: uma reta é tangente à circunferência se, e só se, a distância do centro da circunferência à reta for exatamente igual ao raio
.
A fórmula da distância do ponto
à reta
é:
Aqui
são os coeficientes da reta e
coordenadas do ponto cujo afastamento estamos medindo. Essa fórmula dá o comprimento do segmento perpendicular da reta até o ponto.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: o centro é
e o raio é
. Se existisse uma reta tangente que passa por
, ela deveria satisfazer simultaneamente:
- passar por
, ou seja, para sua equação teríamos ; - e ter distância do centro igual a
, ou seja, pela fórmula,
Passo 4
Mas observe: se a reta passa por
então o numerador
é
. Logo a distância do centro à reta seria
Para ser tangente precisamos de
. Assim teríamos
, uma contradição. Em outras palavras, nenhuma reta que contenha o centro pode estar a uma distância igual ao raio (a menos que
, caso degenerado que aqui não ocorre).
Passo 5
Interpretação geométrica rápida (para fixar a intuição): uma reta que passe pelo centro de uma circunferência corta a circunferência em dois pontos opostos (é uma corda que é um diâmetro), nunca toca a circunferência apenas em um ponto. Uma tangente toca a circunferência em exatamente um ponto e é perpendicular ao raio naquele ponto; portanto a tangente não passa pelo centro.
Resposta
Não existe reta que passe por
e seja tangente à circunferência