Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é normal à curva y=\sin(x) no ponto (\frac{\pi}{2},1)

Passo 1

O enunciado dá:
  • A curva y=\sin(x).
  • O ponto da curva onde queremos a normal: \left(\frac{\pi}{2},1\right).
  • Um ponto pelo qual a reta pedida deveria passar: (1,2).
O que é pedido:
  • Determinar a equação da reta que passa por (1,2) e que é normal (ou seja, perpendicular ao tangente) à curva y=\sin(x) no ponto \left(\frac{\pi}{2},1\right).

Passo 2

Entendendo tangente e derivada — aula rápida e direta:
  • A derivada y'(x) de uma função y=f(x) dá a inclinação (o declive, o “coeficiente angular”) da reta tangente à curva em cada x.
  • Para y=\sin(x) temos a derivada
y'(x)=\cos(x).
Aqui \cos(x) é a inclinação da tangente no ponto de abscissa x.

Passo 3

Calcular a inclinação da tangente em x=\frac{\pi}{2}:
  • Usamos a fórmula da derivada: y'(x)=\cos(x).
  • Avaliando em x=\frac{\pi}{2}:
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Interpretação: a tangente é horizontal no ponto \left(\frac{\pi}{2},1\right). A equação da tangente (usando forma ponto-inclinação) é
y-1=0\cdot\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr),
ou seja
y=1.

Passo 4

O que é a normal e como obtê-la:
  • A normal é a reta perpendicular à tangente naquele ponto.
  • Se a tangente tem inclinação finita m_t\neq0, a normal teria inclinação m_n=-\dfrac{1}{m_t}.
  • Mas aqui m_t=0 (tangente horizontal). Uma reta perpendicular a uma reta horizontal é uma reta vertical.
  • Reta vertical tem equação do tipo x=\text{constante}. Como a normal passa por o ponto \left(\tfrac{\pi}{2},1\right), a normal é
x=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Verificação da condição "passa por (1,2)":
  • Para que a reta x=\tfrac{\pi}{2} passe por (1,2) seria necessário que a abscissa do ponto fosse \,1=\tfrac{\pi}{2}\,, o que não é verdade (pois \tfrac{\pi}{2}\approx1,5708\neq1).
  • Logo o ponto (1,2) NÃO pertence à reta normal x=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Conclusão lógica:
  • A normal à curva y=\sin(x) no ponto \left(\tfrac{\pi}{2},1\right) é a reta x=\tfrac{\pi}{2}.
  • Essa reta não passa pelo ponto (1,2).
  • Portanto, NÃO EXISTE reta que simultaneamente passe por (1,2) e seja a normal à curva no ponto dado.

Resposta

A normal à curva em \left(\tfrac{\pi}{2},1\right) é x=\tfrac{\pi}{2}.
Não existe reta que passe por (1,2) e seja normal à curva y=\sin(x) no ponto \left(\tfrac{\pi}{2},1\right).

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