Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é normal à curva
no ponto
Passo 1
O enunciado dá:
- A curva
. - O ponto da curva onde queremos a normal:
. - Um ponto pelo qual a reta pedida deveria passar:
.
O que é pedido:
- Determinar a equação da reta que passa por
e que é normal (ou seja, perpendicular ao tangente) à curva no ponto .
Passo 2
Entendendo tangente e derivada — aula rápida e direta:
- A derivada
de uma função dá a inclinação (o declive, o “coeficiente angular”) da reta tangente à curva em cada . - Para
temos a derivada
Aqui
é a inclinação da tangente no ponto de abscissa
.
Passo 3
Calcular a inclinação da tangente em
:
- Usamos a fórmula da derivada:
. - Avaliando em
:
Interpretação: a tangente é horizontal no ponto
. A equação da tangente (usando forma ponto-inclinação) é
ou seja
Passo 4
O que é a normal e como obtê-la:
- A normal é a reta perpendicular à tangente naquele ponto.
- Se a tangente tem inclinação finita
, a normal teria inclinação . - Mas aqui
(tangente horizontal). Uma reta perpendicular a uma reta horizontal é uma reta vertical. - Reta vertical tem equação do tipo
. Como a normal passa por o ponto , a normal é
Passo 5
Verificação da condição "passa por
":
- Para que a reta
passe por seria necessário que a abscissa do ponto fosse , o que não é verdade (pois ). - Logo o ponto
NÃO pertence à reta normal .
Passo 6
Conclusão lógica:
- A normal à curva
no ponto é a reta . - Essa reta não passa pelo ponto
. - Portanto, NÃO EXISTE reta que simultaneamente passe por
e seja a normal à curva no ponto dado.
Resposta
A normal à curva em
é
.
Não existe reta que passe por e seja normal à curva
no ponto
.
Não existe reta que passe por