Considere a equação característica abaixo;
Determine a faixa de
para a estabilidade.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a equação característica
O conteúdo é “Critério de Routh–Hurwitz” pra determinar estabilidade de um sistema linear pelo polinômio.
Pra resolver, a gente vai montar a tabela de Routh, olhar a primeira coluna e exigir que todos os elementos sejam positivos. Sem pular etapas, beleza?
Pra resolver, a gente vai montar a tabela de Routh, olhar a primeira coluna e exigir que todos os elementos sejam positivos. Sem pular etapas, beleza?
Passo 2
Vamos montar a tabela de Routh–Hurwitz. Primeiro extrair os coeficientes em linhas alternadas:
s^4 : 1 1 1
s^3 : K 1 0
s^3 : K 1 0
Agora calculamos a linha de s^2 usando o determinante:
Elemento (s^2, coluna 1) =
Elemento (s^2, coluna 2) =
Logo a tabela até agora é:
s^4 : 1 1 1
s^3 : K 1 0
s^2 : 1
s^3 : K 1 0
s^2 :
Passo 3
Agora a linha s^1. Denotando
, o primeiro elemento é
E como o próximo elemento envolve zero, fica só isso na primeira coluna.
A última linha s^0 é sempre 1.
Passo 4
Pra estabilidade, todos os elementos da primeira coluna têm de ser positivos:
- s^4: 1 > 0 (ok)
- s^3: K > 0 ⇒ K>0
- s^2:
. Como queremos K>0, isso vira K−1>0 ⇒ K>1 - s^1:
.
Mas repara: para K>1, o denominador
, então a fração é positiva só se o numerador
for >0.
Isso exige . Mas o discriminante de
é
, então
é sempre >0 para todo K real.
Ou seja, é sempre <0, quebrando a condição de estabilidade.
Isso exige
Ou seja,
Resposta
Não existe valor real de
que torne todos os elementos da primeira coluna positivos.
Logo, não há faixa de para estabilidade.
Logo, não há faixa de