Considere a equação característica abaixo;
s^4+K s^3+s^2+s+1=0
Determine a faixa de K para a estabilidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a equação característica
s^4 ;+; K,s^3 ;+; s^2 ;+; s ;+; 1 ;=; 0
O conteúdo é “Critério de Routh–Hurwitz” pra determinar estabilidade de um sistema linear pelo polinômio.
Pra resolver, a gente vai montar a tabela de Routh, olhar a primeira coluna e exigir que todos os elementos sejam positivos. Sem pular etapas, beleza?

Passo 2

Vamos montar a tabela de Routh–Hurwitz. Primeiro extrair os coeficientes em linhas alternadas:
s^4 : 1 1 1
s^3 : K 1 0
Agora calculamos a linha de s^2 usando o determinante:
Elemento (s^2, coluna 1) =
K cdot 1 ;-;1 cdot 1K ;=;K-1K
Elemento (s^2, coluna 2) =
K cdot 1 ;-;0 cdot 1K ;=;1
Logo a tabela até agora é:
s^4 : 1 1 1
s^3 : K 1 0
s^2 : 1

Passo 3

Agora a linha s^1. Denotando acdot1 ;-;Kcdot1a =K-1K-KK-1K =K-1 -K^2K,/!K-1K =K-1 -K^2K-1 =-K^2 -K +1,K-1, , o primeiro elemento é
E como o próximo elemento envolve zero, fica só isso na primeira coluna.
A última linha s^0 é sempre 1.

Passo 4

Pra estabilidade, todos os elementos da primeira coluna têm de ser positivos:
  1. s^4: 1 > 0 (ok)
  2. s^3: K > 0 ⇒ K>0
  3. s^2: . Como queremos K>0, isso vira K−1>0 ⇒ K>1
  4. s^1: .
Mas repara: para K>1, o denominador , então a fração é positiva só se o numerador for >0.
Isso exige . Mas o discriminante de é , então é sempre >0 para todo K real.
Ou seja, é sempre <0, quebrando a condição de estabilidade.

Resposta

Não existe valor real de que torne todos os elementos da primeira coluna positivos.
Logo, não há faixa de para estabilidade.

Exercícios relacionados