Determine a faixa de valores de K para o sistema de realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é dada por:
G(s)=Ks(s+1)(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que pede a questão. A gente tem um sistema de realimentação unitária (feedback 1) cuja função de transferência em malha aberta é
G(s)=Ks,(s+1),(s+2)
O conteúdo aqui é Critério de Estabilidade de Routh–Hurwitz: a gente quer saber para quais valores de o sistema em malha fechada fica estável (todos os pólos com parte real negativa). Para isso, vamos montar a tabela de Routh do polinômio característica e impor as condições de todos os elementos da primeira coluna positivos.

Passo 2

Escrevendo a função de malha fechada, o denominador (polinômio característico) vem de
1 + G(s) = 0 Longrightarrow 1 + Ks(s+1)(s+2) = 0 Longrightarrow s(s+1)(s+2) + K = 0
Expandindo s(s^2 + 3s + 2) = s^3 + 3s^2 + 2s, :
s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0
logo a equação característica é

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de Routh para
a3 s^3 + a2 s^2 + a1 s + a0 = 0 com a3=1,;a2=3,;a1=2,;a0=K
Tabela de Routh:
1 2
3 1cdot K - 3cdot 21 g/ 3 ;=;6 - K3,
0
s⁰
Explicando o que rolou: na linha de , o primeiro elemento é calculado por
mas mantivemos o sinal trocado para formar o cálculo padrão, chegando no mesmo resultado.

Passo 4

Para estabilidade, todos os termos da primeira coluna precisam ser maiores do que zero:
  1. – ok.
  2. – ok.
  3. .
Juntando com , a gente tem:

Resposta

0 < K < 6

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