Considere a equação de diferenças:
P_{n+1}=1.3 P_{n}-2
com:
P_{0}=10
a) Calcule os quatro primeiros termos.
b) Determine a solução de equilíbrio.
c) Explique o significado da solução de equilíbrio neste contexto.

Passo 1

O enunciado dá a equação de diferenças e uma condição inicial:
P_{n+1}=1{,}3\,P_{n}-2
com
P_{0}=10.
O que é pedido:
  • (a) Calcular os quatro primeiros termos. (Vou entender “quatro primeiros termos” como \,P_0,P_1,P_2,P_3.)
  • (b) Determinar a solução de equilíbrio (valor P^* tal que, se P_n=P^*, então P_{n+1}=P^*).
  • (c) Explicar o significado da solução de equilíbrio no contexto da recorrência.
Lista das informações relevantes dadas:
  • Recorrência linear de primeira ordem com coeficiente multiplicativo 1{,}3 e termo constante -2.
  • Valor inicial \,P_0=10.

Passo 2

Como calcular termos sucessivos: a recorrência diz que cada termo é obtido a partir do anterior aplicando a transformação "multiplica por 1{,}3 e subtrai 2". Para obter P_1 basta substituir n=0 na fórmula:
P_{1}=1{,}3\,P_{0}-2.
Vou fazer isso passo a passo, mostrando as contas aritméticas.

Passo 3

Cálculo de P_1, P_2 e P_3 (partindo de P_0=10):
Calcule P_1:
P_{1}=1{,}3\cdot 10 - 2 = 13 - 2 = 11.
Calcule P_2 usando P_1=11:
P_{2}=1{,}3\cdot 11 - 2 = 14{,}3 - 2 = 12{,}3.
Calcule P_3 usando P_2=12{,}3:
P_{3}=1{,}3\cdot 12{,}3 - 2 = 15{,}99 - 2 = 13{,}99.
(Se fosse necessário continuar, aplicaríamos a mesma operação para obter P_4,P_5,\dots.)

Passo 4

Encontrar a solução de equilíbrio P^*. Definição: equilíbrio é um valor fixo tal que se P_n=P^* então também P_{n+1}=P^*. Logo P^* satisfaz
P^{*}=1{,}3\,P^{*}-2.
Resolvendo para P^{*}:
Passo algébrico:
P^{*}-1{,}3\,P^{*}=-2,
(1-1{,}3)P^{*}=-2,
-0{,}3\,P^{*}=-2,
P^{*}=\frac{-2}{-0{,}3}=\frac{20}{3}.
Em decimal,
P^{*}=\frac{20}{3}=6{,}6\overline{6}.

Passo 5

Interpretação e estabilidade: o que esse P^{*} significa e se a sequência tende ou se afasta dele.
Primeiro, uma maneira sistemática de ver o comportamento é escrever a solução geral. Defina a diferença em relação ao equilíbrio:
Q_n := P_n - P^{*}.
Substituindo na recorrência,
P_{n+1}-P^{*}=1{,}3(P_n-P^{*}),
ou seja
Q_{n+1}=1{,}3\,Q_n.
Isto é uma recorrência homogênea simples com solução geométrica:
Q_n=Q_0\,(1{,}3)^n.
Como Q_0=P_0-P^{*}=10-\dfrac{20}{3}=\dfrac{10}{3}, obtemos a fórmula explícita
P_n = P^{*} + \left(P_0-P^{*}\right)(1{,}3)^n = \frac{20}{3} + \frac{10}{3}\,(1{,}3)^n.

Passo 6

Conclusões sobre estabilidade e significado prático:
  • Significado do equilíbrio: P^{*}=\dfrac{20}{3} é o valor que, se alcançado, permaneceria constante nos passos seguintes (porque substituindo P_n=P^{*} a recorrência dá P_{n+1}=P^{*}). Em aplicações, é o nível em que a dinâmica se “equilibra” (por exemplo, uma população ou um capital que, se exatamente nesse valor, não muda de um passo para o outro).
  • Estabilidade: o fator multiplicador é 1{,}3. Como |1{,}3|>1, o termo (1{,}3)^n cresce em magnitude quando n aumenta. Portanto Q_n afasta-se de zero com o crescimento exponencial de razão 1{,}3. Isso significa que o equilíbrio é instável: se P_0 difere de P^{*} (a menos que seja exatamente igual), os termos da sequência vão se afastar de P^{*} conforme n cresce. No nosso caso, com P_0=10>\dfrac{20}{3}, os termos crescem (como vimos: 10,11,12{,}3,13{,}99,\dots) e não convergem para o equilíbrio.

Resposta

a) P_{0}=10,\;P_{1}=11,\;P_{2}=12{,}3,\;P_{3}=13{,}99
b) P^{*}=\dfrac{20}{3}=6{,}6\overline{6}
c) O equilíbrio é o valor que permanece fixo sob a regra da recorrência; aqui ele é instável porque o fator multiplicativo é 1{,}3 com |1{,}3|>1, logo qualquer perturbação inicial faz a sequência afastar-se do equilíbrio (no nosso caso os termos crescem).

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