Considere a equação de diferenças:
com:
a) Calcule os quatro primeiros termos.
b) Determine a solução de equilíbrio.
c) Explique o significado da solução de equilíbrio neste contexto.
b) Determine a solução de equilíbrio.
c) Explique o significado da solução de equilíbrio neste contexto.
Passo 1
O enunciado dá a equação de diferenças e uma condição inicial:
com
O que é pedido:
- (a) Calcular os quatro primeiros termos. (Vou entender “quatro primeiros termos” como
.) - (b) Determinar a solução de equilíbrio (valor
tal que, se , então ). - (c) Explicar o significado da solução de equilíbrio no contexto da recorrência.
Lista das informações relevantes dadas:
- Recorrência linear de primeira ordem com coeficiente multiplicativo
e termo constante . - Valor inicial
.
Passo 2
Como calcular termos sucessivos: a recorrência diz que cada termo é obtido a partir do anterior aplicando a transformação "multiplica por
e subtrai
". Para obter
basta substituir
na fórmula:
Vou fazer isso passo a passo, mostrando as contas aritméticas.
Passo 3
Cálculo de
,
e
(partindo de
):
Calcule
:
Calcule
usando
:
Calcule
usando
:
(Se fosse necessário continuar, aplicaríamos a mesma operação para obter
.)
Passo 4
Encontrar a solução de equilíbrio
. Definição: equilíbrio é um valor fixo tal que se
então também
. Logo
satisfaz
Resolvendo para
:
Passo algébrico:
Em decimal,
Passo 5
Interpretação e estabilidade: o que esse
significa e se a sequência tende ou se afasta dele.
Primeiro, uma maneira sistemática de ver o comportamento é escrever a solução geral. Defina a diferença em relação ao equilíbrio:
Substituindo na recorrência,
ou seja
Isto é uma recorrência homogênea simples com solução geométrica:
Como
, obtemos a fórmula explícita
Passo 6
Conclusões sobre estabilidade e significado prático:
-
Significado do equilíbrio:
é o valor que, se alcançado, permaneceria constante nos passos seguintes (porque substituindo a recorrência dá ). Em aplicações, é o nível em que a dinâmica se “equilibra” (por exemplo, uma população ou um capital que, se exatamente nesse valor, não muda de um passo para o outro). -
Estabilidade: o fator multiplicador é
. Como , o termo cresce em magnitude quando aumenta. Portanto afasta-se de zero com o crescimento exponencial de razão . Isso significa que o equilíbrio é instável: se difere de (a menos que seja exatamente igual), os termos da sequência vão se afastar de conforme cresce. No nosso caso, com , os termos crescem (como vimos: ) e não convergem para o equilíbrio.
Resposta
a)
b)
c) O equilíbrio é o valor que permanece fixo sob a regra da recorrência; aqui ele é instável porque o fator multiplicativo é com
, logo qualquer perturbação inicial faz a sequência afastar-se do equilíbrio (no nosso caso os termos crescem).
b)
c) O equilíbrio é o valor que permanece fixo sob a regra da recorrência; aqui ele é instável porque o fator multiplicativo é