Considere a equação logística discreta:
P_{n+1}=r P_{n}\left(1-P_{n}\right)
Explique qualitativamente como o comportamento das soluções muda quando:
1<r<3;

Passo 1

O enunciado dá a recorrência logística
P_{n+1}=r\,P_{n}\left(1-P_{n}\right)
e pede uma explicação qualitativa de como o comportamento das soluções muda quando 1<r<3.
Informações/condições relevantes que vou usar (não pediste, mas são pressupostos naturais para este mapa):
  • Considerar P_n como fração/população, tipicamente \,0\le P_n\le1.
  • A constante r é o parâmetro de crescimento e agora sabemos que 1<r<3.
  • A pergunta pede apenas comportamento qualitativo (estabilidade, convergência, oscilações), não valores numéricos de muitas iterações.

Passo 2

Encontrar os pontos fixos (equilíbrios) da recorrência — isto é, valores \bar P tais que P_{n+1}=\bar P quando P_n=\bar P. Para isso resolvemos
\bar P = r\,\bar P(1-\bar P).
Essa equação tem duas soluções óbvias:
\bar P=0 \qquad\text{ou}\qquad \bar P=1-\frac{1}{r}=\frac{r-1}{r}.
Comentário rápido: \bar P=0 representa a extinção; \bar P=(r-1)/r é o equilíbrio de população positiva.

Passo 3

Explicar estabilidade linear dos pontos fixos: ideia e critério.
  • Para mapas unidimensionais P_{n+1}=f(P_n), um ponto fixo \bar P é localmente estável (atrai pontos próximos) se o módulo da derivada em \bar P for menor que 1:
|f'(\bar P)|<1.
  • Se |f'(\bar P)|>1 o ponto é instável; se |f'(\bar P)|=1 é caso crítico (precisa de análise mais fina).
Aqui f(P)=rP(1-P). Calculamos a derivada:
f'(P)=r(1-2P).
Avaliaremos em cada fixo:
  • Em P=0: f'(0)=r. Logo P=0 é estável apenas se |r|<1. Como estamos com 1<r<3, temos f'(0)=r>1, logo P=0 é instável para 1<r<3.
  • No outro fixo \bar P=\dfrac{r-1}{r}:
f'\!\left(\frac{r-1}{r}\right)=r\!\left(1-2\frac{r-1}{r}\right)=r\!\left(1-2+\frac{2}{r}\right)=2-r.
Portanto a condição de estabilidade fica |2-r|<1, que equivale exatamente a
1<r<3.
Ou seja: para 1<r<3 o ponto \bar P=(r-1)/r é localmente estável (atrai pontos próximos).

Passo 4

Interpretação qualitativa para 1<r<3 (com subdivisão útil).
  • Conclusão geral: quando 1<r<3, a população que não se extingue (isto é, com P_0 em (0,1)) tende, após muitas iterações, para o ponto de equilíbrio positivo
\bar P=\frac{r-1}{r}.
O equilíbrio P=0 é instável, então pequenas populações positivas não vão para zero.
É útil dividir em dois subintervalos porque o sinal de f'(\bar P)=2-r muda em r=2:
  • Para 1<r<2: temos 2-r>0 e |2-r|<1. Assim 0< f'(\bar P)<1. Consequência prática: a convergência para \bar P é monótona (não há alternância de lados); se P_0<\bar P a sequência aumenta para \bar P, se P_0>\bar P decresce para \bar P. O decaimento do desvio é aproximadamente geométrico com razão 2-r (ou seja, o erro reduz a cada passo por um fator próximo de 2-r).
  • Para 2<r<3: temos 2-r<0 e |2-r|<1. Assim -1< f'(\bar P)<0. Consequência prática: a convergência para \bar P é oscilatória (dá “bamboleio” em torno de \bar P), mas as oscilações são amortecidas, porque o módulo da derivada é menor que 1. Novamente o decaimento do desvio é geométrico com razão |2-r|: as oscilações diminuem exponencialmente em amplitude.

Passo 5

Intuição e exemplo numérico simples (para fixar):
  • Exemplo 1: r=1{,}5 ( 1<r<2). O equilíbrio é \bar P=(r-1)/r=0{,}5/1{,}5\approx0{,}333. Aqui f'(\bar P)=2-1{,}5=0{,}5. Se começar em P_0=0{,}1, a sequência sobe suavemente e se aproxima de 0{,}333 sem oscilar; o erro é multiplicado por cerca de 0{,}5 a cada iteração.
  • Exemplo 2: r=2{,}5 ( 2<r<3). O equilíbrio é \bar P=(2{,}5-1)/2{,}5=1{,}5/2{,}5=0{,}6. Aqui f'(\bar P)=2-2{,}5=-0{,}5. Se começar em P_0=0{,}4, a sequência passa para um lado e depois para o outro de \bar P, com amplitude das oscilações diminuindo por um fator próximo de 0{,}5 a cada dois passos, até convergir para 0{,}6.

Passo 6

Observação sobre o limite do intervalo r\to3:
  • Em r=3 tem-se f'(\bar P)=2-3=-1. Esse é um caso crítico: a convergência deixa de ser assintótica simples e aparece uma bifurcação de período (dobra de período). Por isso o comportamento qualitativo muda em r=3 para regimes mais complexos (períodos 2, 4, etc.). Mas para 1<r<3 permanecemos no regime em que \bar P atrai as órbitas iniciais em (0,1).

Resposta

Para 1<r<2: a solução converge para o ponto fixo \bar P=\dfrac{r-1}{r}; a convergência é monotônica (sem oscilações) e o equilíbrio P=0 é instável.
Para 2<r<3: a solução também converge para \bar P=\dfrac{r-1}{r}, mas a convergência é oscilatória (damped oscillations) — as iterações passam alternadamente de um lado para o outro de \bar P com amplitude decrescente; P=0 permanece instável.

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