Considere a equação logística discreta:
Explique qualitativamente como o comportamento das soluções muda quando:
;
Passo 1
O enunciado dá a recorrência logística
e pede uma explicação qualitativa de como o comportamento das soluções muda quando
.
Informações/condições relevantes que vou usar (não pediste, mas são pressupostos naturais para este mapa):
- Considerar
como fração/população, tipicamente . - A constante
é o parâmetro de crescimento e agora sabemos que . - A pergunta pede apenas comportamento qualitativo (estabilidade, convergência, oscilações), não valores numéricos de muitas iterações.
Passo 2
Encontrar os pontos fixos (equilíbrios) da recorrência — isto é, valores
tais que
quando
. Para isso resolvemos
Essa equação tem duas soluções óbvias:
Comentário rápido:
representa a extinção;
é o equilíbrio de população positiva.
Passo 3
Explicar estabilidade linear dos pontos fixos: ideia e critério.
- Para mapas unidimensionais
, um ponto fixo é localmente estável (atrai pontos próximos) se o módulo da derivada em for menor que :
- Se
o ponto é instável; se é caso crítico (precisa de análise mais fina).
Aqui
. Calculamos a derivada:
Avaliaremos em cada fixo:
- Em
: . Logo é estável apenas se . Como estamos com , temos , logo é instável para . - No outro fixo
:
Portanto a condição de estabilidade fica
, que equivale exatamente a
Ou seja: para
o ponto
é localmente estável (atrai pontos próximos).
Passo 4
Interpretação qualitativa para
(com subdivisão útil).
- Conclusão geral: quando
, a população que não se extingue (isto é, com em ) tende, após muitas iterações, para o ponto de equilíbrio positivo
O equilíbrio
é instável, então pequenas populações positivas não vão para zero.
É útil dividir em dois subintervalos porque o sinal de
muda em
:
- Para
: temos e . Assim . Consequência prática: a convergência para é monótona (não há alternância de lados); se a sequência aumenta para , se decresce para . O decaimento do desvio é aproximadamente geométrico com razão (ou seja, o erro reduz a cada passo por um fator próximo de ). - Para
: temos e . Assim . Consequência prática: a convergência para é oscilatória (dá “bamboleio” em torno de ), mas as oscilações são amortecidas, porque o módulo da derivada é menor que . Novamente o decaimento do desvio é geométrico com razão : as oscilações diminuem exponencialmente em amplitude.
Passo 5
Intuição e exemplo numérico simples (para fixar):
- Exemplo 1:
( ). O equilíbrio é . Aqui . Se começar em , a sequência sobe suavemente e se aproxima de sem oscilar; o erro é multiplicado por cerca de a cada iteração. - Exemplo 2:
( ). O equilíbrio é . Aqui . Se começar em , a sequência passa para um lado e depois para o outro de , com amplitude das oscilações diminuindo por um fator próximo de a cada dois passos, até convergir para .
Passo 6
Observação sobre o limite do intervalo
:
- Em
tem-se . Esse é um caso crítico: a convergência deixa de ser assintótica simples e aparece uma bifurcação de período (dobra de período). Por isso o comportamento qualitativo muda em para regimes mais complexos (períodos 2, 4, etc.). Mas para permanecemos no regime em que atrai as órbitas iniciais em .
Resposta
Para
: a solução converge para o ponto fixo
; a convergência é monotônica (sem oscilações) e o equilíbrio
é instável.
Para
: a solução também converge para
, mas a convergência é oscilatória (damped oscillations) — as iterações passam alternadamente de um lado para o outro de
com amplitude decrescente;
permanece instável.