Considere a equação diferencial
:
b) Formule um problema de valor inicial (PVI) com a EDO dada e encontre a solução particular.
b) Formule um problema de valor inicial (PVI) com a EDO dada e encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do segundo grau:
O que a gente precisa fazer aqui é formular um Problema de Valor Inicial (PVI) para essa equação e encontrar a solução particular. Isso envolve definir condições iniciais, que são valores de $ y $ e $ y’ $ em algum ponto específico, e resolver a equação com essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos formular o Problema de Valor Inicial (PVI). Isso significa que além da equação diferencial, precisamos de condições iniciais. Vamos escolher o ponto $ x = 0 $ para facilitar os cálculos. Então, definimos:
- $ y(0) = y_0 $
- $ y’(0) = y’_0 $
Onde $ y_0 $ e $ y’_0 $ são valores específicos que podemos escolher. Para este exemplo, vamos supor:
- $ y(0) = 1 $
- $ y’(0) = 0 $
Agora temos o PVI completo:
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma $ y_h = e^{r x} $ e obtemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla $ r = 1 $, então a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação não homogênea:
A parte direita é um pouco complicada, mas vamos tentar uma solução da forma:
Onde $ u(x) $ é uma função a ser determinada. Vamos derivar $ y_p $ e substituir na equação original para encontrar $ u(x) $.
Depois de substituir e simplificar, encontramos a expressão para $ u(x) $. Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas nos leva à solução particular desejada.
Passo 5
Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a solução particular:
Usamos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $ para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $. Substituindo $ x = 0 $:
E derivando $ y $ e substituindo $ x = 0 $:
Resolvendo essas equações, encontramos $ C_1 $ e $ C_2 $, o que nos dá a solução particular completa.
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é:
Onde $ y_p $ é a solução particular encontrada no passo anterior. Com as condições iniciais escolhidas, substituímos os valores para obter a expressão final de $ y(x) $.