Considere a equação diferencial de quarta ordem não homogênea: y^(4)-2 y^prime prime+y=e^x :
a) Determine a equação característica associada à EDO, encontre suas raízes e escreva a solução geral da equação homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de quarta ordem não homogênea:
y^(4) - 2 y'' + y = e^x
O que precisamos fazer nessa parte é encontrar a equação característica associada à equação diferencial homogênea correspondente, descobrir suas raízes e, com isso, escrever a solução geral da equação homogênea. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e características de equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, ou seja, sem o termo não homogêneo (o lado direito da equação). Então, temos:
y^(4) - 2 y'' + y = 0
Para resolver isso, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções da forma y = e^rx. Substituindo y por e^rx na equação homogênea, derivando conforme necessário, e simplificando, obtemos a equação característica.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação característica. Cada derivada de y traz um fator de r, de forma que:
  • y' = r e^rx
  • y'' = r^2 e^rx
  • y^(4) = r^4 e^rx
Substituindo na equação homogênea:
r^4 e^rx - 2 r^2 e^rx + e^rx = 0
Podemos dividir todos os termos por e^rx (já que e^rx neq 0):
r^4 - 2 r^2 + 1 = 0
Essa é a nossa equação característica:
r^4 - 2 r^2 + 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
r^4 - 2 r^2 + 1 = 0
Observamos que essa é uma equação quártica, mas pode ser fatorada como uma equação quadrática em termos de r^2. Vamos fazer uma substituição:
s = r^2
Substituindo:
s^2 - 2s + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
s = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Então, s = 1. Voltando à substituição s = r^2, temos:
r^2 = 1 Rightarrow r = pm 1
Mas como estamos em uma equação de quarta ordem, cada raiz tem multiplicidade 2.

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea. Como temos raízes múltiplas, a solução incluirá termos multiplicados por x.
As raízes são r = 1 e r = -1, cada uma com multiplicidade 2. Portanto, a solução geral é:
yh(x) = (C1 + C2 x) e^x + (C3 + C4 x) e^-x
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2 x) e^x + (C3 + C4 x) e^-x

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