Considere a equação diferencial de quarta ordem não homogênea:
:
a) Determine a equação característica associada à EDO, encontre suas raízes e escreva a solução geral da equação homogênea.
a) Determine a equação característica associada à EDO, encontre suas raízes e escreva a solução geral da equação homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de quarta ordem não homogênea:
O que precisamos fazer nessa parte é encontrar a equação característica associada à equação diferencial homogênea correspondente, descobrir suas raízes e, com isso, escrever a solução geral da equação homogênea. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e características de equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, ou seja, sem o termo não homogêneo (o lado direito da equação). Então, temos:
Para resolver isso, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções da forma
. Substituindo
por
na equação homogênea, derivando conforme necessário, e simplificando, obtemos a equação característica.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação característica. Cada derivada de
traz um fator de
, de forma que:
Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir todos os termos por
(já que
):
Essa é a nossa equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Observamos que essa é uma equação quártica, mas pode ser fatorada como uma equação quadrática em termos de
. Vamos fazer uma substituição:
Substituindo:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
. Voltando à substituição
, temos:
Mas como estamos em uma equação de quarta ordem, cada raiz tem multiplicidade 2.
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea. Como temos raízes múltiplas, a solução incluirá termos multiplicados por
.
As raízes são
e
, cada uma com multiplicidade 2. Portanto, a solução geral é:
Onde
são constantes de integração.
Resposta
A solução geral da equação homogênea é: