Considere a equação diferencial dada por: (2,5)
y^prime prime+0,2 cdot y^prime+0,26 y=1,22 cdot e^0,5 t
Sabendo que y(0)=0 e y^prime(0)=0. Resolva.

Passo 1

Nesse exercício temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado exponencial. O conteúdo é solução de EDOs lineares não homogêneas: vamos obter primeiro a solução da parte homogênea e depois uma solução particular. Em seguida ajustamos as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea é
r^2 + 0,2,r + 0,26 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação do segundo grau temos
r = -0,2 pm raiz0,2^2 - 4cdot1cdot0,262 = -0,2 pm raiz-12 = -0,1 pm 0,5,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -0,1pm0,5i, a solução homogênea é
yh(t) = e^-0,1tl(C1cos(0,5t) + C2sin(0,5t)r)

Passo 5

Para a solução particular, usamos o ansatz yp(t)=K,e^0,5t. Calculando as derivadas:
yp'(t)=0,5K,e^0,5t, yp''(t)=0,25K,e^0,5t,

Passo 6

e substituindo na EDO temos
0,25K + 0,2cdot0,5K + 0,26K = 1,22 Longrightarrow (0,25+0,1+0,26)K = 1,22 Longrightarrow 0,61K = 1,22 Longrightarrow K = 2

Passo 7

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yp(t) = 2,e^0,5t

Passo 8

A solução geral é a soma das duas partes:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-0,1tl(C1cos(0,5t) + C2sin(0,5t)r) + 2,e^0,5t

Passo 9

Agora usamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1+2=0Longrightarrow C1=-2

Passo 10

Para y'(t) usamos derivada do geral por regra do produto e somamos a derivada de yp. Avaliando em t=0
y'(0) = -0,1C1 + 0,5C2 + 1 = 0 Longrightarrow -0,1(-2) + 0,5C2 +1 =0 Longrightarrow 1,2 +0,5C2 =0 Longrightarrow C2 = -2,4

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
y(t) = e^-0,1tl(-2cos(0,5t) - 2,4sin(0,5t)r) + 2,e^0,5t

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