Considere a equação diferencial dada por:
Sabendo que
e
. Resolva.
Passo 1
Nesse exercício temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado exponencial. O conteúdo é solução de EDOs lineares não homogêneas: vamos obter primeiro a solução da parte homogênea e depois uma solução particular. Em seguida ajustamos as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
A equação característica associada à parte homogênea é
Passo 3
Resolvendo a equação do segundo grau temos
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução homogênea é
Passo 5
Para a solução particular, usamos o ansatz
. Calculando as derivadas:
Passo 6
e substituindo na EDO temos
Passo 7
Logo
Passo 8
A solução geral é a soma das duas partes:
Passo 9
Agora usamos as condições iniciais. Em
:
Passo 10
Para
usamos derivada do geral por regra do produto e somamos a derivada de
. Avaliando em
dá
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é: