Considere a equação diferencial:
\ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+y(t)=u(t) en que y(0)=\dot{y}(0)=0 e u(t) é um degrau unitário.
As raízes do denominador da Função complexa \mathrm{Y}(\mathrm{s}) / \mathrm{U}(\mathrm{s}) são:
Escolha uma opção:
◯ a. Nenhuma das alternativas
◯ b. s_{1}=-1 ; s_{2}=-1
◯ c. s_{1}=-1 ; s_{2}=-2
◯ d. s_{1}=-i ; s_{2}=+i
◯ e. s_{1}=-2 ; s_{2}=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede as raízes do denominador da função complexa \mathrm{Y}(\mathrm{s})/\mathrm{U}(\mathrm{s}). Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: \ddot{y}(t)+2\dot{y}(t)+y(t)=u(t).
  • Condições iniciais: y(0)=0 e \dot{y}(0)=0.
  • Entrada: u(t) é um degrau unitário (ou seja, sua transformada de Laplace é conhecida como U(s)=1/s).
    A pergunta final: determinar as raízes do denominador da função de transferência \mathrm{Y}(\mathrm{s})/\mathrm{U}(\mathrm{s}) e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial para o domínio de Laplace. Lembrete das formulas para a transformada de Laplace de derivadas (para uma função y(t) com transformada Y(s)):
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-\dot{y}(0).
Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} na equação dada e usando as condições iniciais y(0)=0 e \dot{y}(0)=0, obtemos:
s^{2}Y(s)+2sY(s)+Y(s)=U(s).

Passo 3

Colocando Y(s) em evidência:
\bigl(s^{2}+2s+1\bigr)Y(s)=U(s).
Daí a função de transferência (razão entre saída e entrada no domínio de Laplace) é
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^{2}+2s+1}.
O denominador da função de transferência é, portanto, s^{2}+2s+1. As raízes desse polinômio são os valores de s que anulam o denominador (os polos do sistema).

Passo 4

Resolvendo a equação para as raízes:
s^{2}+2s+1=0.
Este trinomio é um quadrado perfeito; fatorando:
s^{2}+2s+1=(s+1)(s+1)=(s+1)^{2}.
Portanto a equação (s+1)^{2}=0 dá a raiz dupla
s=-1
com multiplicidade 2. Isso significa s_{1}=-1 e s_{2}=-1.

Resposta

b. s_{1}=-1 ; s_{2}=-1

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