Marque a alternativa que corresponde a função f(t), quando é aplicada a Transformada inversa de Laplace na seguinte função complexa: F(s)=\frac{10}{s \cdot(s+2) \cdot\left(s^{2}+6 s+9\right)}.
Escolha uma opção:
◯ a. f(t)=(10 / 9)-\epsilon^{-2 t}+(1 / 3) t \epsilon^{-t}+(40 / 9) \epsilon^{-t}
◯ b. f(t)=(2 / 9)-3 \epsilon^{-t}+(1 / 3) t \epsilon^{-3 t}+(4 / 9) \epsilon^{-t}
◯ c. f(t)=(5 / 9)-5 \epsilon^{-2 t}+(10 / 3) t \epsilon^{-3 t}+(40 / 9) \epsilon^{-3 t}
◯ d. f(t)=(7 / 9)-5 \epsilon^{-3 t}+(1 / 3) t \epsilon^{-t}+(4 / 9) \epsilon^{-t}
◯ e. f(t)=(1 / 9)-\epsilon^{-2 t}+(10 / 3) t \epsilon^{-t}+(4 / 9) \epsilon^{-3 t}
Passo 1
O enunciado nos dá a função transformada de Laplace
e pede para encontrar a função temporal f(t) correspondente à transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
O denominador pode ser fatorado porque s^{2}+6s+9=(s+3)^{2}.
Portanto podemos reescrever F(s) como
F(s)=\frac{10}{s\,(s+2)\,(s+3)^{2}}.
O objetivo final é obter f(t) e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Estratégia: decompor F(s) em frações parciais para obter termos cuja transformada inversa é conhecida. Como há um polo simples em s=0, um polo simples em s=-2 e um polo repetido de ordem 2 em s=-3, a decomposição em frações parciais tem a forma
Falta determinar C. Uma forma direta é substituir um valor de s que não anule termos de interesse; por exemplo s=-4. Substituindo s=-4 na identidade do Passo 3:
Calcule cada parcela:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t\,\mathrm{e}^{-a t}.
Esses resultados são padrão e fáceis de lembrar: o deslocamento em s vira um fator exponencial em t, e potência 2 no denominador introduz um fator t.
observando que no enunciado a notação \epsilon^{-at} corresponde a \mathrm{e}^{-at}. A ordem dos termos pode variar, mas os coeficientes e os expoentes devem coincidir; a alternativa (c) é idêntica à solução encontrada.