Marque a alternativa que corresponde a função f(t), quando é aplicada a Transformada inversa de Laplace na seguinte função complexa:
F(s)=\frac{10}{s \cdot(s+2) \cdot\left(s^{2}+6 s+9\right)}.
Escolha uma opção:
◯ a. f(t)=(10 / 9)-\epsilon^{-2 t}+(1 / 3) t \epsilon^{-t}+(40 / 9) \epsilon^{-t}
◯ b. f(t)=(2 / 9)-3 \epsilon^{-t}+(1 / 3) t \epsilon^{-3 t}+(4 / 9) \epsilon^{-t}
◯ c. f(t)=(5 / 9)-5 \epsilon^{-2 t}+(10 / 3) t \epsilon^{-3 t}+(40 / 9) \epsilon^{-3 t}
◯ d. f(t)=(7 / 9)-5 \epsilon^{-3 t}+(1 / 3) t \epsilon^{-t}+(4 / 9) \epsilon^{-t}
◯ e. f(t)=(1 / 9)-\epsilon^{-2 t}+(10 / 3) t \epsilon^{-t}+(4 / 9) \epsilon^{-3 t}

Passo 1

O enunciado nos dá a função transformada de Laplace
F(s)=\frac{10}{s\cdot(s+2)\cdot\left(s^{2}+6s+9\right)}
e pede para encontrar a função temporal f(t) correspondente à transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O denominador pode ser fatorado porque s^{2}+6s+9=(s+3)^{2}.
  • Portanto podemos reescrever F(s) como
F(s)=\frac{10}{s\,(s+2)\,(s+3)^{2}}.
O objetivo final é obter f(t) e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Estratégia: decompor F(s) em frações parciais para obter termos cuja transformada inversa é conhecida. Como há um polo simples em s=0, um polo simples em s=-2 e um polo repetido de ordem 2 em s=-3, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{10}{s\,(s+2)\,(s+3)^{2}} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}+\frac{D}{(s+3)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s\,(s+2)\,(s+3)^{2} obtemos a identidade algébrica
10 = A\,(s+2)\,(s+3)^{2}+B\,s\,(s+3)^{2}+C\,s\,(s+2)\,(s+3)+D\,s\,(s+2).
Para encontrar A,B,D é eficiente avaliar essa igualdade em valores de s que anulem fatores.

Passo 4

Avaliar em s=0:
10 = A\,(0+2)\,(0+3)^{2}=A\cdot 2\cdot 9=18A
Logo
A=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}.

Passo 5

Avaliar em s=-2:
10 = B\cdot(-2)\cdot(-2+3)^{2}=B\cdot(-2)\cdot 1^{2}=-2B
Logo
B=-\frac{10}{2}=-5.

Passo 6

Avaliar em s=-3:
10 = D\cdot(-3)\cdot(-3+2)=D\cdot(-3)\cdot(-1)=3D
Logo
D=\frac{10}{3}.

Passo 7

Falta determinar C. Uma forma direta é substituir um valor de s que não anule termos de interesse; por exemplo s=-4. Substituindo s=-4 na identidade do Passo 3:
Calcule cada parcela:
A\,(s+2)\,(s+3)^{2}\Big|_{s=-4}=\frac{5}{9}\cdot(-2)\cdot(-1)^{2}=-\frac{10}{9},
B\,s\,(s+3)^{2}\Big|_{s=-4}=-5\cdot(-4)\cdot(-1)^{2}=20,
C\,s\,(s+2)\,(s+3)\Big|_{s=-4}=C\cdot(-4)\cdot(-2)\cdot(-1)=-8C,
D\,s\,(s+2)\Big|_{s=-4}=\frac{10}{3}\cdot(-4)\cdot(-2)=\frac{80}{3}.
Somando e igualando a 10:
10 = -\frac{10}{9}+20-8C+\frac{80}{3}.
Agora simplificar e resolver para C. Primeiro coloque tudo sobre o denominador 9:
20=\frac{180}{9},\qquad \frac{80}{3}=\frac{240}{9}.
Então
10 = -\frac{10}{9}+\frac{180}{9}-8C+\frac{240}{9} = \frac{410}{9}-8C.
Transforme 10 em nonos: 10=\frac{90}{9}. Assim
\frac{90}{9}=\frac{410}{9}-8C \quad\Rightarrow\quad -8C=\frac{90-410}{9}=-\frac{320}{9}.
Logo
C=\frac{320}{9\cdot 8}=\frac{320}{72}=\frac{40}{9}.

Passo 8

Agora temos todas as constantes:
A=\frac{5}{9},\qquad B=-5,\qquad C=\frac{40}{9},\qquad D=\frac{10}{3}.
Portanto a decomposição em frações parciais é
F(s)=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{s}-5\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{40}{9}\cdot\frac{1}{s+3}+\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{(s+3)^{2}}.

Passo 9

Relembrando pares básicos de transformada inversa de Laplace (isto é teoria útil para a prova):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (função degrau unitário).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=\mathrm{e}^{-a t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t\,\mathrm{e}^{-a t}.
    Esses resultados são padrão e fáceis de lembrar: o deslocamento em s vira um fator exponencial em t, e potência 2 no denominador introduz um fator t.

Passo 10

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{5}{9}\cdot 1 -5\cdot \mathrm{e}^{-2t} + \frac{40}{9}\cdot \mathrm{e}^{-3t} + \frac{10}{3}\cdot t\,\mathrm{e}^{-3t}.
Ou seja,
f(t)=\frac{5}{9}-5\,\mathrm{e}^{-2t}+\frac{40}{9}\,\mathrm{e}^{-3t}+\frac{10}{3}\,t\,\mathrm{e}^{-3t}.

Passo 11

Compare com as alternativas fornecidas: a alternativa que coincide exatamente com a expressão encontrada é a letra (c):
\text{\text{(c)}}\quad f(t)=\frac{5}{9}-5\,\epsilon^{-2t}+\frac{10}{3}\,t\,\epsilon^{-3t}+\frac{40}{9}\,\epsilon^{-3t},
observando que no enunciado a notação \epsilon^{-at} corresponde a \mathrm{e}^{-at}. A ordem dos termos pode variar, mas os coeficientes e os expoentes devem coincidir; a alternativa (c) é idêntica à solução encontrada.

Resposta

(c)

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